如何追逐一個元素
當任意兩點之間的每條路徑都給出相同的複合映射時，圖表交換。短正合列 0 → A → B → C → 0 打包了三個事實：A → B 是單射，B → C 是滿射，且 A → B 的像等於 B → C 的核。圖表追逐就是從某處的一個元素出發，沿箭頭推動它，利用正合與交換來確定它必然去往何處或來自何處的技術。
五引理的完整追逐
五引理說：在兩行各五項、行均正合的交換圖中，若外側四個豎直映射是同構，則中間那個也是。實踐中你只需更弱的假設，而追逐它是入門禮。這裡是滿射那一半，寫成你能跟上每一次拉動的樣子。
Two exact rows, vertical maps f1..f5:
A1 --a--> A2 --b--> A3 --c--> A4 --d--> A5
|f1 |f2 |f3 |f4 |f5
v v v v v
B1 --p--> B2 --q--> B3 --r--> B4 --s--> B5
Claim (surjectivity of f3): assume f2, f4 surjective, f5 injective.
Goal: every y in B3 has a preimage in A3.
1. Push y down-stream: let z = r(y) in B4.
2. f4 onto => pick x4 in A4 with f4(x4) = z.
3. Check x4 dies under d: f5(d x4) = s(f4 x4) = s(r y) = 0
(rows exact: s . r = 0). f5 injective => d(x4) = 0.
4. Row exact at A4 => x4 = c(x3) for some x3 in A3.
5. Compare f3(x3) with y: r(f3 x3) = f4(c x3) = f4(x4) = r(y),
so r(y - f3 x3) = 0. Exact at B3 => y - f3(x3) = q(w), w in B2.
6. f2 onto => w = f2(x2), x2 in A2. Then
f3( x3 + b(x2) ) = f3(x3) + q(f2 x2) = f3(x3) + (y - f3 x3) = y.
Done: x3 + b(x2) is the preimage. f3 is surjective.單射那一半是鏡像，使用 f2、f4 單射與 f1 滿射。兩半合起來給出：若 f1、f2、f4、f5 是同構，則 f3 也是。記住招式，而非結論——這門學問裡的每一次追逐都正由這些拉動拼裝而成。
蛇形引理與連接映射
現在是明珠。蛇形引理接受一個行均正合的交換圖，其中兩條短正合列透過豎直映射 f、g、h 疊起。它產出一條把核與餘核編織在一起的長正合列——關鍵是一個全新的映射 δ，即連接同態，原始資料中並不存在它。δ 誕生於一次圖表追逐，它是這門學問中每條長正合列背後的引擎。
Rows exact, columns f, g, h:
0 -> A --i--> B --p--> C -> 0
|f |g |h
0 -> A'--j--> B'--q--> C'-> 0
Snake lemma output (one long exact sequence):
0 -> ker f -> ker g -> ker h --d--> coker f -> coker g -> coker h -> 0
Building the connecting map d: ker h -> coker f, by chasing c in ker h:
- p is onto: pick b in B with p(b) = c.
- g(b) maps to 0 in C': q(g b) = h(p b) = h(c) = 0.
- exact at B': g(b) = j(a') for a UNIQUE a' in A' (j injective).
- define d(c) = a' + im f in coker f.
Well-defined: a different lift b -> b + i(a) changes g(b) by g(i a)
= j(f a), shifting a' by f(a) -- which is 0 in coker f. So d is honest.