d 的平方等於零
環 R 上模的鏈複形是一列複合後歸零的映射。寫成 ... → C_2 → C_1 → C_0 → 0，邊緣映射 d_n: C_n → C_{n-1}，服從唯一的神聖法則 d_{n-1} ∘ d_n = 0。這一條件說每個映射的像落在下一個映射的核裡面：im d_{n+1} ⊆ ker d_n。整個學科都源於追問像比核小多少。
ker d_n 的元素稱為閉鏈（記作 Z_n）——被送到零的東西。im d_{n+1} 的元素稱為邊緣（記作 B_n）——從高一維來的東西。因為 d² = 0，每個邊緣都是閉鏈：B_n ⊆ Z_n。第 n 個同調就是把邊緣遺忘掉的商：
H_n(C) = ker d_n / im d_{n+1} = Z_n / B_n
Intuition:
cycles = things that COULD be boundaries
boundaries= things that ALREADY are boundaries
homology = cycles that are NOT boundaries (the leftover)
If H_n = 0 for all n, the complex is EXACT: image = kernel everywhere.
Homology is precisely the obstruction to exactness.一個可以手算的複形
取 R = ℤ。考慮兩項複形 0 → ℤ →(×2) ℤ → 0，唯一非平凡的映射是乘以 2，置於第 1 與第 0 度。顯然 d² = 0（沒有東西可複合）。現在計算。在第 1 度，ker(×2) = 0，又沒有進入的映射，所以 H_1 = 0。在第 0 度，閉鏈是整個 ℤ（外出映射為零），邊緣是 im(×2) = 2ℤ。所以 H_0 = ℤ / 2ℤ。
Complex: 0 -> Z --(x2)--> Z -> 0 (degrees 1, 0)
Degree 1: Z_1 = ker(x2) = 0
B_1 = im(of map into degree 1) = 0
H_1 = 0/0 = 0
Degree 0: Z_0 = ker(0 map out) = Z
B_0 = im(x2) = 2Z
H_0 = Z / 2Z = Z/2Z
Reading: the map x2 is injective (H_1=0) but NOT surjective;
H_0 = Z/2Z is exactly the cokernel, the 'how-far-from-onto' group.複形的映射與擬同構
鏈映射 f: C → D 是一族映射 f_n: C_n → D_n，與邊緣映射交換：f_{n-1} ∘ d_n = d_n ∘ f_n。與 d 交換意味著 f 把閉鏈送到閉鏈、邊緣送到邊緣，於是它下降為同調上的同態 H_n(f): H_n(C) → H_n(D)。這正是同調作為函子的含義——這一主題在範疇論的那一軌展開。
當每個 H_n(f) 都是同構時，鏈映射稱為擬同構——儘管兩個複形外表毫不相像，它們卻有相同的同調。這是同調代數中「相同」的正確概念：我們關心同調，而非複形本身。同一個模的兩個天差地別的分解將是擬同構的，這恰恰是我們提取的不變量良定的原因。