把群拆成單群片
合成列是一條鏈 1 = G₀ ◁ G₁ ◁ ··· ◁ Gₙ = G，其中每個商 Gᵢ₊₁/Gᵢ 都是單群——你無法再細化這條鏈。Jordan-Hölder 定理說同一有限群的任意兩條合成列都有相同的長度，以及相同的單群商重集（合成因子），至多差一個重排與同構。這些因子是群的「質數」：如同整數的質因子分解，它們是不變量，儘管它們本身不能重建 G（不同的群可以共享合成因子）。有限單群分類定理命名了每一個可能的因子。
Two composition series of Z/12Z, same factors (Jordan-Holder).
Series A: 0 ◁ Z/2 ◁ Z/6 ◁ Z/12
factors: (Z/2)/0 = Z/2, (Z/6)/(Z/2) = Z/3, (Z/12)/(Z/6) = Z/2
multiset of factors: { Z/2, Z/2, Z/3 }
Series B: 0 ◁ Z/3 ◁ Z/6 ◁ Z/12
factors: Z/3, Z/2, Z/2
multiset of factors: { Z/2, Z/2, Z/3 }
Same multiset {Z/2, Z/2, Z/3}, just reordered — exactly as Jordan-Holder
predicts. Note 12 = 2 * 2 * 3: the composition factors of a finite
abelian group recover its prime factorization.可解群與冪零群
一個有限群是可解的，恰好當它所有合成因子都是阿貝爾群——等價地，當導出列 G ▷ G′ ▷ G″ ▷ ···（迭代換位子群）到達 1。可解性是根式可解性的群論投影：一個多項式根式可解當且僅當它的伽羅瓦群是可解群，這正是一般五次方程不可解的原因——S₅ 不可解，因為 A₅（一個階為 60 的非阿貝爾單群）作為合成因子出現。
冪零群是更強的條件：它的上中心列 1 ◁ Z(G) ◁ Z₂(G) ◁ ··· 一路爬到 G。每個冪零群都可解，反之則不然（S₃ 可解但不冪零）。乾淨的結構事實是：一個有限群冪零當且僅當它是其 Sylow 子群的直積——所以有限冪零群在精確意義上不過是若干 p-群的捆綁。這正是第二篇與第四篇重新匯合之處。
群表現與有限生成阿貝爾群的結構
如何具體寫下一個群？群表現 ⟨ S | R ⟩ 指定生成元 S 與關係 R：它是 S 上的自由群——不施加任何關係的約化詞之群——模去包含 R 的最小正規子群。例如 ⟨ r, s | rⁿ = 1, s² = 1, srs = r⁻¹ ⟩ 是階為 2n 的二面體群。群表現是無限群以及由拓撲定義的群被鎖定的方式；它們也是真正不可判定性所棲身之處（字問題可能無解）。
對阿貝爾群，一切都變得可計算。有限生成阿貝爾群的分類說，每個這樣的群都同構於 Zʳ ⊕ Z/d₁Z ⊕ ··· ⊕ Z/d_kZ，其中 d₁ | d₂ | ··· | d_k（不變因子型），或等價地同構於 Zʳ ⊕（若干 Z/pⁱZ 之積）（準素型）。自由秩 r 與諸因子 dᵢ 是完全不變量。這是 PID 上模的結構定理的阿貝爾特例：把群表現為一個整數矩陣的餘核，再用 Smith 標準型讀出 dᵢ。
Classify the abelian group A = <x, y | 6x + 2y = 0, 2x + 4y = 0> (written additively). Relation matrix M (rows = relations, cols = generators x, y): M = [6, 2; 2, 4] Smith normal form via integer row/column operations: [6, 2; 2, 4] swap rows -> [2, 4; 6, 2] R2 <- R2 - 3 R1 -> [2, 4; 0, -10] C2 <- C2 - 2 C1 -> [2, 0; 0, -10] -> diag(2, 10) Invariant factors: d_1 = 2, d_2 = 10, and 2 | 10. Free rank r = (#gens) - (#nonzero d_i) = 0. Therefore A ≅ Z/2Z ⊕ Z/10Z. Primary form: 10 = 2 * 5, so A ≅ Z/2Z ⊕ Z/2Z ⊕ Z/5Z. Order of A = 2 * 10 = 20, matching |det M| = |6*4 - 2*2| = 20.