正規子群、商群與同構定理

為什麼正規性是正確的條件

G 的子群 N 是正規的，記作 N ◁ G，當 gNg⁻¹ = N 對每個 g 成立——等價地，N 是若干共軛類的並，也等價於左右陪集重合。正規性的要點在於，它恰好是使陪集集合 G/N 繼承良定乘法 (aN)(bN) = (ab)N 的條件。沒有正規性，這條規則是含糊的；有了它，G/N 成為真正的群，即商群。正規子群恰好是從 G 出發的同態的核，這正是它們重要的原因。（這與理想讓你構造商環在群論上完全對應。）

三大同構定理

這些同構定理是本學科的語法。把它們內化到能不假思索地引用。

第一同構定理（同態基本定理）：若 φ: G → H 是同態，則 G / ker φ ≅ im φ。每個商都是一個像，每個像都是一個商——「坍縮」的兩幅圖景重合。
第二同構定理（鑽石定理）：若 H ≤ G 且 N ◁ G，則 HN 是子群，H ∩ N ◁ H，且 H / (H ∩ N) ≅ HN / N。它告訴你一個子群如何看待一個商。
第三同構定理（商的商）：若 N ≤ M 都在 G 中正規，則 (G/N) / (M/N) ≅ G/M。你可以像約去公因子那樣約去 N。
附贈（對應定理）：G/N 的子群與包含 N 的 G 的子群之間存在保序雙射，且正規對應正規。這正是讓你透過在 G 中「向上看」來推理商群的依據。

First isomorphism theorem in action: the sign homomorphism.

sgn : S_n -> {+1, -1},   sigma |-> +1 if even, -1 if odd.
This is a homomorphism onto the 2-element group.

  ker(sgn) = even permutations = A_n   (the alternating group).
  im(sgn)  = {+1, -1} = Z/2Z.

First isomorphism theorem:   S_n / A_n  ≅  Z/2Z.
Hence A_n is normal of index 2, and |A_n| = n!/2.

Another one-liner: the determinant det : GL(2,R) -> R*
is a homomorphism onto the nonzero reals.
  ker(det) = SL(2,R)   ⇒   GL(2,R) / SL(2,R) ≅ R*.

第一同構定理各用一行把 A_n 與 SL 認作核。

換位子群與阿貝爾化

這是最乾淨的一個應用。換位子群 G′ = [G, G] 由所有換位子 [a, b] = aba⁻¹b⁻¹ 生成。它是正規的（甚至是特徵的），且商 G/G′ 是阿貝爾群。更妙：G′ 是使商阿貝爾的最小正規子群，所以 G/G′——阿貝爾化——是 G 的泛阿貝爾像。從 G 到任何阿貝爾群的同態都唯一地經過 G/G′ 分解。這是你第一次嚐到泛性質的味道，而它正是第五篇中可解群機制所迭代的對象。