作為作用的共軛
讓 G 透過共軛作用在自身上：g·x = gxg⁻¹。軌道就是共軛類；當一個元素是另一個在某種群對稱下的「重新標號」時，二者共軛。在對稱群 S_n 中，共軛類恰好就是輪換型——一個極漂亮且具體的例子。在共軛下 x 的穩定子是中心化子 C_G(x) = { g : gx = xg }，即與 x 可交換的元素。由軌道-穩定子定理，x 的共軛類大小為 [G : C_G(x)] = |G| / |C_G(x)|。
什麼時候一個共軛類只是一個點？恰好當 gxg⁻¹ = x 對所有 g 成立，即 x 與一切可交換。這些 x 構成中心 Z(G)，它是衡量一個群有多非阿貝爾的核心。一個元素是中心元，當且僅當它的共軛類是單點集。（密切相關的正規化子 N_G(H) 對子群 H 而非元素起同樣作用——它是 H 在子集共軛下的穩定子。）
類方程式
由於共軛類劃分 G，把它們的大小相加得到 |G|。把單點類（中心）從其餘部分中分出來，便得到類方程式：|G| = |Z(G)| + Σ [G : C_G(x_i)]，其中求和取遍每個非中心共軛類的一個代表 x_i。求和中的每一項都是 |G| 的一個大於 1 的因子。這條小小的記帳恆等式威力驚人——它把關於 |G| 的算術約束轉化為關於 G 的結構事實。
Class equation of S_4 (|S_4| = 24).
Conjugacy classes = cycle types. Class size = 24 / |centralizer|.
cycle type representative class size
e () 1 <- central
(a b) (1 2) 6
(a b)(c d) (1 2)(3 4) 3
(a b c) (1 2 3) 8
(a b c d) (1 2 3 4) 6
Check: 24 = 1 + 6 + 3 + 8 + 6. (Indeed 1+6+3+8+6 = 24.)
Reading off structure:
- Z(S_4) = {e}, since only the identity class is a singleton.
- The classes of size 1 + 3 = 4 elements that are even and 'square-symmetric'
( e and the three (a b)(c d) ) form the normal subgroup V_4.
- Even permutations: classes 1 + 3 + 8 = 12 elements -> the subgroup A_4.p-群有非平凡中心
p-群是階為某素數 p 的冪的有限群。這裡類方程式立刻見效。求和中的每一項 [G : C_G(x_i)] 都是 |G| = pⁿ 的一個大於 1 的因子，因而被 p 整除；|G| 本身也被 p 整除。於是在方程式 |Z(G)| = |G| − Σ [G : C_G(x_i)] 中，右端被 p 整除，因此 p 整除 |Z(G)|。由於 Z(G) 含有單位元而非空，故 |Z(G)| ≥ p > 1：每個非平凡的 p-群都有非平凡中心。 這一個事實是我們能對 p-群證明幾乎一切的引擎。
把它兌現：任何階為 p² 的群都是阿貝爾的。若 |G| = p²，則其中心 Z(G) 的階為 p 或 p²。若 |Z(G)| = p，則 G/Z(G) 的階為 p，從而是循環群——但有一條標準引理說 G/Z(G) 循環就迫使 G 阿貝爾，與 |Z(G)| = p 矛盾。故 |Z(G)| = p²，即 G = Z(G) 是阿貝爾群。結合你將在第五篇遇到的結構定理，每個階為 p² 的群都同構於 Z/p²Z 或 Z/pZ × Z/pZ——一個完整的分類，僅由類方程式加一條引理得到。