群作用的含義
在第一卷裡，群是一個自足的代數對象。群作用把它與外部世界相連：它是一條規則，讓群 G 的每個元素去置換集合 X 中的點。形式地說，作用是一個映射 G × X → X，記作 g·x，滿足兩條公理：單位元平凡地作用，e·x = x；作用與乘法相容，g·(h·x) = (gh)·x。第二條公理正是關鍵——它說「先做 h 再做 g」等於「做 gh」，於是每個 g 確實像一個對稱，而對應 g ↦ (x ↦ g·x) 是從 G 到對稱群 Sym(X) 的同態。
任何作用都會自然產生兩個結構。點 x 的軌道是你能從它到達的一切：G·x = { g·x : g ∈ G }。軌道構成 X 的一個劃分——每個點恰好落在一個軌道裡。點 x 的穩定子是固定它的群元素之集：Stab(x) = { g ∈ G : g·x = x }。關鍵在於，Stab(x) 永遠是 G 的子群，因為固定 x 的元素對乘法與求逆封閉。整套理論都依賴於軌道有多大與穩定子有多大之間的張力。
軌道-穩定子定理
下面就是那條挑大樑的定理。軌道-穩定子定理說：對有限群 G 作用在 X 上以及任意點 x，有 |G·x| = [G : Stab(x)] = |G| / |Stab(x)|。軌道的大小等於穩定子的指數。證明是一個雙射：把陪集 g·Stab(x) 送到點 g·x。這恰好是良定且單射的，因為 g·x = h·x 當且僅當 h⁻¹g 固定 x，也當且僅當 g 與 h 落在 Stab(x) 的同一個陪集裡。於是軌道元素恰好對應於陪集——而數陪集就是拉格朗日定理，你早已知道。
一個立刻的推論：每個軌道的大小都整除 |G|。這一個事實正是你稍後會遇到的類方程式與 Sylow 定理的種子。讓我們用一個具體的對稱群把它做一遍。
Cube rotations acting on faces. G = rotation group of a cube. We do NOT yet know |G|; let's compute it. X = the 6 faces. G acts on X (rotations permute faces). Fix one face, say the TOP face x. - Orbit G·x: a rotation can carry the top face to any of the 6 faces. So |G·x| = 6. - Stabilizer Stab(x): rotations that keep the top face where it is. These are rotations about the vertical axis: 0, 90, 180, 270 degrees. So |Stab(x)| = 4. Orbit-stabilizer: |G| = |G·x| * |Stab(x)| = 6 * 4 = 24. The rotation group of the cube has order 24. (In fact G is isomorphic to S_4, acting on the 4 long diagonals.) We counted the whole group by looking at ONE face and asking two easy questions.
你將永遠反覆使用的幾個標準作用
群作用在自身或自身結構上的三種作用，是後續一切的家常便飯。把它們當作有名字的對象記下來。