作為置換群的伽羅瓦群，與逆問題

在根上的作用

設 f 是 K 上 n 次可分多項式，其根 α_1,…,α_n 在分裂域 L 中。每個 σ ∈ Gal(L/K) 置換這些根，又因 L 由它們生成，σ 被該置換*完全決定*。於是 Gal(L/K) 作為對稱群 S_n 的子群嵌入——這就是作為置換群的伽羅瓦群。兩個結構事實：作用是忠實的（沒有非恆等的 σ 固定所有根），且若 f 不可約則作用是傳遞的（Gal 能把任一根移到任一根，因為所有根共享一個極小多項式）。

判別式探測 A_n

構造 δ = ∏_{i<j}(α_i − α_j)。一個對換翻轉某個因子的符號，故置換按其符號作用於 δ：偶置換固定 δ，奇置換使其變號。因此 Gal ⊆ A_n 恰當 δ 被整個群固定，即當 δ ∈ K。其平方 D = δ² 是判別式，總落在 K 中。於是判據很乾淨：Gal ⊆ A_n 當且僅當 D 是 K 中的完全平方。

Cubic  f(x) = x^3 + px + q  (irreducible, separable, char != 2,3).
Discriminant:  D = -4p^3 - 27q^2.

Gal is transitive in S_3, so |Gal| is 3 or 6 => Gal = A_3 or S_3.
The discriminant decides which:

  D is a square in K   <=>  Gal = A_3 = Z/3Z   (cyclic, order 3)
  D is NOT a square    <=>  Gal = S_3          (order 6)

Examples over Q:
  x^3 - 3x + 1:  D = -4(-3)^3 - 27(1)^2 = 108 - 27 = 81 = 9^2.
      square => Gal = A_3 = Z/3Z.  (A 'cyclic cubic'.)
  x^3 - x - 1:   D = -4(-1)^3 - 27(-1)^2 = 4 - 27 = -23.
      not a square => Gal = S_3.

For a quartic one uses the RESOLVENT CUBIC instead:
  its splitting behavior over K separates the five transitive
  subgroups of S_4  (S_4, A_4, D_4, Z/4Z, V_4).

對四次方程，判別式還不夠——必須區分 S_4 的五個傳遞子群。工具是預解三次式，一個輔助的三次式，其根由四次方程的根成對地對稱構造而成。它的根在 K 中如何分佈（全部、一個、或沒有有理根）與判別式判據結合，便鎖定你擁有的是 S_4、A_4、D_4、C_4、V_4 中的哪一個。這套預解式方法是低次伽羅瓦群的實用主力。

哪些群會出現？逆問題

整條軌道我們都在從給定擴張計算 Gal(L/K)。把它反過來：給定有限群 G，是否存在 Q 的擴張使 Gal ≅ G？這就是伽羅瓦逆問題，而它一般而言尚未解決——老實說，沒人知道是否每個有限群都會出現在 Q 上。已知的部分很可觀：每個交換群都出現（切割一個合適的分圓域，用第 4 篇的方法），每個可解群都出現（沙法列維奇），對稱群與交錯群都出現，且大多數有限單群已被一族一族地實現。

退後一步，一口氣看清整條軌道：伽羅瓦擴張把一個擴張打包成一個群作用，對應使域與子群成為同一個格的兩種視角，群的可解性恰好就是方程的根式可解性，三類交換家族（分圓、庫默爾、有限）是一切都能顯式計算之處，而逆問題問的是我們尚不能完全回答的唯一問題——這套構造能產生哪些群。從一個擴張到所有擴張的這道弧線，就是研究生水平的伽羅瓦理論。