分圓：群是 (Z/nZ)^×
設 ζ 為本原 n 次單位根，考慮分圓擴張 Q(ζ)/Q。任何自同構 σ 把 ζ 送到另一個本原 n 次根，故 σ(ζ)=ζ^a，其中 a 與 n 互素。映射 σ ↦ a (mod n) 是到單位群 (Z/nZ)^× 的單同態，且因 n 次分圓多項式 Φ_n 在 Q 上不可約而是滿的。於是 Gal(Q(ζ)/Q) ≅ (Z/nZ)^×，是一個 φ(n) 階的交換群。
n = 7: Phi_7(x) = x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1, irreducible.
[Q(zeta_7):Q] = phi(7) = 6.
Gal = (Z/7Z)^x = {1,2,3,4,5,6} under multiplication mod 7.
This group is cyclic of order 6, generated by 3:
3^1=3, 3^2=2, 3^3=6, 3^4=4, 3^5=5, 3^6=1 (mod 7).
Subgroup lattice => intermediate field lattice (FTGT):
unique subgroup of order 2 = {1,6} <-> the unique deg-3 subfield
unique subgroup of order 3 = {1,2,4} <-> the unique deg-2 subfield
The degree-2 subfield is Q(sqrt(-7)) (a Gauss-sum fact).
This is how one PROVES quadratic subfields of cyclotomic fields
exist: read them off the cyclic group (Z/7Z)^x.庫默爾：由 n 次根得到的循環擴張
現在固定一個已含 n 次單位根的基域 K（於是我們工作在分圓步驟的「下游」）。添加一個 n 次根：L = K(α)，α^n = a ∈ K。這是一個庫默爾擴張，且為次數整除 n 的循環擴張。理由直接：任何 σ ∈ Gal(L/K) 把 α 送到 a 的另一個 n 次根，它必為某個 ζ^k α，ζ 是 K 中的單位根。指派 σ ↦ ζ^{k} 是到 n 次單位根群 μ_n（循環群）的單射，故 Gal(L/K) 循環。
這正是第 3 篇所用的逆命題：當基域有足夠多的單位根時，*n 次循環就等同於添加一個 n 次根*。根式塔的每個循環層都是一個庫默爾擴張。於是分圓與庫默爾合起來恰好製造出根式所能到達的「分段交換」擴張——這就是可解群與根式可解性重合的結構性原因。
有限域：弗羅貝尼烏斯包辦一切
有限域給出所有情形中最乾淨的伽羅瓦理論。對每個質數冪 q=p^n 恰有一個 q 元域 F_q，且 F_{p^n}/F_p 是伽羅瓦的。其群由弗羅貝尼烏斯映射 φ: x ↦ x^p 生成，它固定 F_p（費馬：a^p=a）且階恰為 n。於是有限域的伽羅瓦群是循環的，Gal(F_{p^n}/F_p) ≅ Z/nZ，由 φ 生成。
F_{2^6} / F_2, Frobenius phi(x) = x^2, ord(phi) = 6.
Gal = <phi> = Z/6Z.
FTGT for a cyclic group Z/6Z: subgroups <-> divisors of 6.
subgroup order fixed field degree over F_2
<phi> = whole 6 F_2 1
<phi^2> 3 F_4 = F_{2^2} 2
<phi^3> 2 F_8 = F_{2^3} 3
<phi^6> = {1} 1 F_{2^6} 6
So F_{2^d} sits inside F_{2^6} iff d | 6.
d in {1,2,3,6}: yes. d = 4: NO, since 4 does not divide 6.
The subfield lattice of finite fields is literally the
divisibility lattice of the exponents -- a one-line consequence
of the Galois group being cyclic.