根式塔究竟是什麼
「用根式」的公式只用 +、−、×、÷ 與 n 次根。代數地說就是：從 K 出發，你在一座塔 K = F_0 ⊆ F_1 ⊆ … ⊆ F_m 內到達解，其中每一步添加單個根式，F_{i+1} = F_i(α) 且 α^{n_i} ∈ F_i。一個方程用根式可解，當其分裂域落在這樣一座塔內。計劃是透過伽羅瓦對應來解讀這座塔，看它對群強加了什麼。
有一處技術上的「增甜劑」。添加滿足 α^n ∈ F_i 的 α 是一個循環擴張，*前提是 F_i 已含有 n 次單位根*。所以先把所有需要的單位根投入基域——這是一步分圓擴張，本身交換因而可解——之後每個根式步驟都有循環伽羅瓦群。我們可以把這座塔安排成在 K 上正規且每層循環。
域之塔 ↔ 子群之鏈
現在對正規塔 K ⊆ F_1 ⊆ … ⊆ F_m 應用對應。每個 F_i 對應子群 G_i = Gal(F_m/F_i)，包含關係翻轉為鏈 G = G_0 ⊇ G_1 ⊇ … ⊇ G_m = {1}。因每個 F_{i+1}/F_i 正規且群循環，故每個 G_{i+1} ◁ G_i，商 G_i/G_{i+1} 循環。具有這種鏈——相繼商皆交換——的群按定義就是可解群。這便是定理：用根式可解 ⇒ 伽羅瓦群可解。
一個會崩壞的五次方程
為了擊破可解性，我們需要一個伽羅瓦群不可解的五次方程。整個對稱群 S_5 即可：它有鏈 S_5 ⊃ A_5 ⊃ {1}，但 A_5 是非交換的單群——沒有更進一步的真正規子群，沒有可用的交換商。故 S_5 不可解，任何伽羅瓦群為 S_5 的五次方程都不能用根式求解。我們只需一個落在那裡的具體多項式。
Claim: f(x) = x^5 - 6x + 3 over Q has Galois group S_5. Step 1 (irreducible). Eisenstein at p = 3: coeffs of x^4..x^0 are 0, 0, 0, -6, 3; all of -6, 3 divisible by 3, leading coeff 1 not, and 3 not divisible by 3^2 = 9. => f is irreducible over Q, so 5 | |Gal(f)| and the group is transitive. Step 2 (a 5-cycle). Transitive subgroup of S_5 of order divisible by 5 contains an element of order 5 (Cauchy) = a 5-cycle. Step 3 (a transposition). Count real roots via calculus: f'(x) = 5x^4 - 6 has two real critical points, so f has exactly 3 real roots and 1 complex-conjugate pair. Complex conjugation fixes the 3 real roots, swaps the 2 complex roots => it acts as a transposition in Gal(f) <= S_5. Step 4 (generation). A 5-cycle and ANY transposition together generate all of S_5. => Gal(f/Q) = S_5, which is NOT solvable. => x^5 - 6x + 3 = 0 cannot be solved by radicals.