互相抵消的兩個映射
固定一個伽羅瓦擴張 L/K，群為 G = Gal(L/K)。有兩個自然映射。向上：子群 H ⊆ G 對應其不動域 L^H = { x ∈ L : 對所有 σ ∈ H 有 σx = x }，這是一個中間域 K ⊆ L^H ⊆ L。向下：中間域 F 對應 Gal(L/F)，即逐點固定 F 的自同構，這是 G 的一個子群。基本定理斷言這兩個映射互為逆的雙射。
兩個映射都逆轉包含關係——更大的子群固定更少的元素，故更大的 H 給出更小的 L^H。這使得該對應成為兩個格之間的逆序雙射，是一個恰好構成完美對偶的伽羅瓦連接的實例。一個格的底（平凡子群，固定一切：L^{1}=L）對應另一個格的頂，反之亦然。
為何是雙射：阿廷
困難的方向是：傳到不動域時絕不丟失資訊。阿廷定理承擔了重活：若 H 是 L 的自同構構成的有限群，則 L 在其不動域 L^H 上是伽羅瓦的，Gal(L/L^H) = H，且關鍵地 [L : L^H] = |H|。於是子群 H 恰好被重構為 Gal(L/L^H)。反方向，因 L/F 也是伽羅瓦的，故 |Gal(L/F)| = [L:F]，且 L^{Gal(L/F)} = F。兩次往返都閉合。
正規對應正規
最後一條款最為漂亮。中間域 F 在 K 上正規恰當其子群 H = Gal(L/F) 是 G 的正規子群，此時限制給出 Gal(F/K) = G/H。‘正規’一詞在兩種意義上的吻合並非巧合：對每個 σ ∈ G 有 σ(F)=F 是域論的表述，而 σHσ⁻¹ = H 是它在群裡的翻譯。商群 G/H 正是作為底層那段的伽羅瓦群而誕生的。
L = Q(sqrt 2, sqrt 3), G = Gal(L/Q) = {e, a, b, ab} = Z/2Z x Z/2Z.
a: sqrt2 -> -sqrt2, sqrt3 -> +sqrt3
b: sqrt2 -> +sqrt2, sqrt3 -> -sqrt3
Subgroups of G (all normal, since G is abelian) and their fixed fields:
{e} <-> L = Q(sqrt2, sqrt3) [L:F] = 4
{e, a} <-> Q(sqrt3) fixed by a
{e, b} <-> Q(sqrt2) fixed by b
{e, ab} <-> Q(sqrt6) ab fixes sqrt2*sqrt3
G <-> Q [F:Q] = 1
Check the index/degree mirror for F = Q(sqrt2), H = {e, b}:
[L:F] = |H| = 2 [F:Q] = [G:H] = 4/2 = 2. OK.
Every subgroup is normal in G, so every one of the three
quadratic subfields is normal over Q, with Gal(F/Q) = G/H = Z/2Z.