固定地板的自同構
從具體處入手。給定域擴張 L/K，寬鬆意義下的伽羅瓦群是 Aut(L/K)，即固定 K 中每個元素的 L 的域自同構構成的群。每個這樣的 σ 都置換任何係數在 K 中的多項式的根，因為對 p(α)=0 作用 σ 得到 p(σα)=0。於是自同構不能把根送到非根：伽羅瓦群完全活在根集的對稱性之內。這一個觀察就是整個學科的引擎。
但 Aut(L/K) 可能小得令人尷尬。取 K=Q，L=Q(∛2)。任何 σ 必須把 ∛2 送到 x³−2 的某個根，而另外兩個根是複數，L 卻嵌在 R 內。於是 σ 除了把 ∛2 送回自身之外無處可送：儘管 [L:K]=3，Aut(L/K) 仍是平凡群。群之所以太小，是因為 L 不正規——它沒有包含它起步用的極小多項式的所有根。
用嵌入來計數
數自同構有一種乾淨的方法。固定 K 的一個代數閉包，去數 L 到其中的 K-嵌入。對單擴張 K(α) 而言，一個嵌入由它把 α 送到何處決定，而 α 可以送到其極小多項式 m 的任意根。於是嵌入的個數等於 m 的不同根的個數。若 m 次數為 n 且無重根，則恰得 n 個嵌入。
沿塔逐個添加生成元，嵌入個數相乘——它本身沿塔具有乘性，與次數的塔定律相呼應。這個計數稱為可分次數 [L:K]_s，它總是不超過 [L:K]。兩者恰好相等當且僅當途中每個極小多項式都有不同的根，即當擴張是可分的時。
Count Aut(L/Q) for L = Q(sqrt 2, sqrt 3). Degrees: [L:Q] = [L:Q(sqrt 2)] * [Q(sqrt 2):Q] = 2 * 2 = 4. Embeddings of L into C, by choosing images of the generators: sqrt 2 -> +sqrt 2 or -sqrt 2 (roots of x^2 - 2) sqrt 3 -> +sqrt 3 or -sqrt 3 (roots of x^2 - 3) All 2 * 2 = 4 combinations land inside L itself (L is normal), so every embedding is an automorphism. => |Aut(L/Q)| = 4 = [L:Q]. L/Q is Galois. The four maps, by sign pattern (s2, s3): e = (+, +) identity a = (-, +) flips sqrt 2 b = (+, -) flips sqrt 3 ab = (-, -) flips both Each has order 2, and the group is Z/2Z x Z/2Z (Klein four).
並置的兩個條件
正規修補第一種失敗：L/K 正規當且僅當 L 是 K 上的分裂域，於是到閉包的每個嵌入像都是 L——每個嵌入*就是*一個自同構。可分修補第二種失敗：它迫使 [L:K]_s = [L:K]。兩者合起來便有 |Aut(L/K)| = [L:K]_s = [L:K]。這條等式 |Gal(L/K)| = [L:K]，就是我們在本軌道餘下部分將依賴的伽羅瓦的可操作定義。