群的端與雙曲群

端：通往無窮的方向

取凱萊圖，刪去一個大球，數隨著球增大而存活的無界連通分支有幾個。這個穩定的計數就是群的端數——一個擬等距不變量，因而是內稟的。驚人的定理（Hopf、Freudenthal、Stallings）是這個計數被嚴格限制：有限生成群恰有 0、1、2 或 ∞ 個端，絕不會是 3 或 17。

The four cases and what they MEAN:

   0 ends  <=>  the group is finite.
   2 ends  <=>  the group is virtually Z (a finite-index copy of Z).
                geometrically: a line, two ways out.
   inf ends <=> the group splits as a nontrivial amalgam or HNN
                over a finite subgroup            (STALLINGS' THEOREM)
                e.g. F_2 has infinitely many ends -- its tree frays
                into infinitely many branches.
   1 end   <=>  everything else, the 'generic' case
                e.g. Z^2 (delete a ball from the plane: one piece remains).

Stallings turns a coarse COUNT into an algebraic SPLITTING.

0/2 個端鎖定有限 / 幾乎-ℤ；∞ 個端強制分解（Stallings）；1 個端是一般情形。

瘦三角形：Gromov 雙曲性

現在是現代的核心。一個測地度量空間是 δ-雙曲的，若每個測地三角形都 δ-瘦：每條邊都落在另外兩條邊之並的 δ 鄰域內。歐氏平面中三角形可以很胖（沒有 δ 行得通）；樹中三角形無限瘦（δ = 0）；雙曲平面處於有限 δ。有限生成群是雙曲群，若其凱萊圖對某個 δ 是 δ-雙曲的。由第 3 篇的工作，這是擬等距不變量，故是群的性質，與生成元無關。

Who is hyperbolic?

  YES   finite groups (trivially), virtually free groups, F_n (delta = 0),
        surface groups of genus >= 2, virtually Z,
        'random' finitely presented groups (Gromov: generic => hyperbolic).
  NO    Z^2 : it contains a flat plane, fat triangles, so NOT hyperbolic.
        => any group containing a Z^2 subgroup is NOT hyperbolic
           (Z^2 is a quasi-isometrically embedded flat -- a 'no-go' certificate).
        Baumslag-Solitar BS(1,2) is not hyperbolic either.

Rule of thumb: hyperbolic = 'negatively curved' = no flats, tree-like at large scale.

樹與虧格 ≥ 2 的曲面群是雙曲的；ℤ² 子群是障礙。

雙曲性何以如此值錢：它馴服了我們一路掙扎的一切。雙曲群的字問題可在線性時間內解決——Dehn 函數是線性的，故貪心的「Dehn 演算法」能縮短任何平凡的環路。它們有限表示，至多指數增長，並滿足 Tits 二擇一：每個子群或含秩 2 的自由群，或是幾乎循環——沒有奇異的中間行為。