自由群、合併積與樹上的作用

自由群與樹

我們見過 S 上自由群 F_S（設 S = S⁻¹）的凱萊圖是正則樹：沒有環路，因為沒有關係。這並非巧合，而是一種刻畫。一個群是自由的若且唯若它在某棵樹上自由作用（無非平凡元素固定頂點或翻轉邊）。從這一條幾何事實，便傾瀉出本學科最漂亮的結果之一。

黏合群：合併積與 HNN

兩種構造透過沿子群黏合來造新群。合併自由積 A ∗_C B 取共享公共子群 C 的 A 與 B，自由地合併它們，只把 C 的兩份認同起來。HNN 擴張取一個群 A 與兩個同構子群 C₁ ≅ C₂，添加一個穩定字母 t 把一個共軛到另一個：t⁻¹C₁t = C₂。兩者都有正規形式定理，讓你把元素唯一地寫成交替乘積——這是自由群中約化字的類比。

Examples worth memorizing:

  A *_C B with C = 1:  this is just the free product A * B = coproduct in Groups.
      e.g. Z * Z = F_2.

  PSL(2,Z) = Z/2Z *  Z/3Z         (amalgam over the trivial group; acts on the
                                   Farey tree)

  SL(2,Z) = Z/4Z *_{Z/2Z} Z/6Z    (amalgamated over the center {+/-I})

  HNN:  Klein bottle group = < a, t | t a t^-1 = a^-1 >
        Here A = <a> = Z, C1 = C2 = Z, the iso is a |-> a^-1.

  HNN (ascending):  BS(1,2) = < a, t | t a t^-1 = a^2 >   (Baumslag-Solitar)
        C1 = <a> = Z maps onto the index-2 subgroup C2 = <a^2>.

自由積是餘積（C 平凡）；HNN 添加一個把一子群共軛到另一子群的字母。

Bass–Serre：從樹讀出群

這是統一的機器。Bass–Serre 理論說：一個群在樹上作用（無翻轉）等同於一份群圖資料——一張圖，每個頂點和邊都貼上一個群，並有從邊群到頂點群的內射。該群被重構為這張群圖的基本群。合併積是單邊情形（兩個頂點）；HNN 擴張是單環情形（一個頂點，一條回到自身的邊）。