把群畫出來
固定一個群 G 與生成集 S（設 S = S⁻¹ 以保對稱）。凱萊圖 Cay(G, S) 對每個元素 g ∈ G 設一個頂點，並對每個 s ∈ S 從 g 到 gs 連一條邊。右乘一個生成元就是一步。結果是連通圖——之所以連通正因 S 生成——它是本學科最重要的一幅畫。群透過左乘作用在自己的凱萊圖上，且此作用是圖自同構。
Three Cayley graphs to hold in your head:
G = Z, S = {+1, -1} Cay = the infinite line ... -2 -1 0 1 2 ...
G = Z^2, S = {+/-e1, +/-e2} Cay = the infinite square grid
G = Z/6Z, S = {+1, -1} Cay = a hexagon (6-cycle)
G = F_2 = <a,b|> Cay = the infinite 4-valent TREE
(no loops at all -- there are no relations,
so no closed paths except backtracking)
A relator of length n in the presentation = a closed loop of length n in Cay.
No relators <=> no loops <=> a tree.字度量
現在把它做成度量空間。字度量 d_S(g, h) 是凱萊圖中從 g 到 h 的最短路徑長度——等價地是從 g 到 h 所需相乘的最少生成元個數。字長 |g| = d_S(1, g) 從單位元度量 g。這是真正的度量：滿足三角不等式，且關鍵在於左不變，對一切 x 有 d_S(g, h) = d_S(xg, xh)，因為左乘是一種對稱。群從此是一個空間，可以談球、測地線和距離。
- 選取滿足 S = S⁻¹ 的生成集；這使 d 對稱。
- 定義 |g| = 滿足 g = s₁⋯s_k（各 sᵢ ∈ S）的最小 k；並令 |1| = 0。
- 令 d_S(g, h) = |g⁻¹h|；由 |xy| ≤ |x| + |y| 驗證三角不等式。
- 驗證左不變性：d_S(xg, xh) = |(xg)⁻¹(xh)| = |g⁻¹h| = d_S(g, h)。