群表示與字問題

什麼是群表示

你在第一卷裡已把群理解為帶運算的集合。幾何群論從另一個姿態開始：交給某人一個生成元字母表和一張關係清單，問這些規則強制出什麼群。資料 ⟨S | R⟩ 就是一個群表示。形式上它命名商群 F(S)/N，其中 F(S) 是 S 上的自由群，N 是 R 的正規閉包——包含所有關係子的最小正規子群。群裡成立的一切，恰好就是你能從關係子推出的一切；別無強加。

Familiar groups as presentations:

  Z/nZ      = < a | a^n >
  Z x Z     = < a, b | a b a^-1 b^-1 >        (one commutator relator => abelian)
  D_n       = < r, s | r^n, s^2, s r s r >     (dihedral, order 2n)
  S_3       = < a, b | a^3, b^2, b a b a >     (same shape, n = 3)
  Z         = < a | >                          (no relators => free of rank 1)
  F_2       = < a, b | >                        (free of rank 2: NO relations)

Reading the Z x Z relator: a b a^-1 b^-1 = 1 says ab = ba.
A relator w means 'the word w equals the identity'.

關係子是被設為 1 的字；關係 r^n 表示 a^n = e。

兩個字何時相等

核心難點在此。生成元上的字不過是像 a b a⁻¹ b a 這樣的串。兩個串代表同一群元素，若且唯若透過插入/刪除平凡片段 s s⁻¹ 以及插入/刪除關係子，能把一個化為另一個。字問題問：給定字 w，群中是否 w = 1？等價地，給定 w 與 v，是否 w = v？這是一個判定問題，必須認真對待——符號本身並不附贈任何自動程序。

Proving a b = b a in Z x Z = < a, b | aba^-1 b^-1 >:

  start:    a b
  insert the relator (= 1) on the right:
            a b . (b^-1 a^-1 b a)        <- this inserted word is a conjugate of the relator, = 1
            = a (b b^-1) a^-1 b a
            = a a^-1 b a
            = b a                          done.

Every equality in a finitely presented group is, in principle,
such a finite chain of relator-insertions and free cancellations.
The trouble: there is no a-priori bound on how LONG the chain must be.

一次推導是有限的關係子插入與自由消去序列——但其長度不受控。

為什麼可能不可判定

誠實而令人清醒的事實：存在一個有限表示群，其字問題在演算法上不可解（Novikov 1955，Boone 1958）。沒有任何程式能對該群中的字總是正確判定它是否等於 1。這不是我們不夠聰明留下的缺口，而是一條定理，靠把圖靈機編碼進群關係來建構。所以幾何綱領不是奢侈品——對一般群而言根本沒有符號捷徑，唯一的把手就是*形狀*。