根的對稱性：自同構與伽羅瓦群

自同構：體的對稱

體 K 的自同構是對其元素的重新標記，且保持一切算術：σ(a + b) = σ(a) + σ(b)，σ(ab) = σ(a)σ(b)。對擴張 K/F 我們再加一條——σ 必須 固定基體 F 的每個元素，讓有理數原封不動。

經典例子：複共軛。映射 a + bi ↦ a − bi 是 C 的一個自同構，固定每個實數。它正是一種共軛對稱——並交換 x² + 1 的兩個根 i 與 −i。

伽羅瓦群

把固定 F 的 K 的每個自同構都收集起來。它們在複合下構成一個群——稱為伽羅瓦群 Gal(K/F)。單位元是什麼也不做的映射，重新標記的逆元把它撤銷，而兩個對稱的複合仍是對稱。你學過的關於群的一切現在都適用了。

由於每個 σ 只是把根洗牌，伽羅瓦群就作為根上的置換群——是 n 個根上完整對稱群的一個子群。它常常是真子群而非全體，因為根之間可能藏有對稱必須遵守的關係。

親手算一個

Gal(Q(√2, √3) / Q):

Roots to shuffle:  √2 → ±√2,  √3 → ±√3 (independently)
Each automorphism is determined by these two sign choices:

  e   :  √2 → √2,   √3 → √3      (identity)
  σ   :  √2 → −√2,  √3 → √3
  τ   :  √2 → √2,   √3 → −√3
  στ  :  √2 → −√2,  √3 → −√3

4 elements, every one its own inverse  ⇒  the Klein four-group.
Note |Gal| = 4 = [Q(√2,√3) : Q].  The order MATCHES the degree.

四種變號，四個對稱——而群的階恰等於擴張的次數。

最後那行——|Gal(K/F)| 等於次數 [K : F]——絕非偶然。當 K 是一個 “好的” 擴張（可分多項式的分裂體）時它恰好成立。當大小這樣相符時，擴張就稱為 伽羅瓦的，而我們也就準備好迎接把兩個世界繫在一起的定理了。