極小多項式：一個數的指紋
在 F 上代數的數 α 可能滿足許多多項式。其中有唯一一個 “最好” 的：以 α 為 根、次數最低的首一多項式。它就是 α 在 F 上的 極小多項式。
兩個事實使它特別。第一，它不可約——是 F 上的 質多項式，不能分解為更低次的因式。第二，它整除 α 所滿足的每個多項式。所以它確實是 α 遵從的最簡單方程。
Minimal polynomial of α = √2 + √3 over Q: α = √2 + √3 α^2 = 2 + 2√6 + 3 = 5 + 2√6 α^2 − 5 = 2√6 (α^2 − 5)^2 = 24 α^4 − 10α^2 + 25 = 24 α^4 − 10α^2 + 1 = 0 Minimal polynomial: x^4 − 10x^2 + 1 (degree 4) So [Q(√2 + √3) : Q] = 4.
為何次數就是維數
若 α 的極小多項式次數為 n，則 F(α) 有 基 {1, α, α², …, αⁿ⁻¹}，且 [F(α) : F] = n。原因在於：α 的任何更高次冪都能用極小多項式改寫，正如 α² = 2 讓我們把 Q(√2) 裡的一切都收攏起來。
分裂體：讓所有根都安家
像 x² − 2 這樣的多項式在 Q 中無根，但在 Q(√2) 內它分解為 (x − √2)(x + √2)——它 分裂 成一次因式。使給定多項式完全分解為一次因式的、F 的最小擴張，就是它的 分裂體。
有時你必須添加不止一個根，甚至非實數。x³ − 2 在 Q 上的分裂體需要實立方根 ∛2 和一個 複 單位立方根 ω；它是 Q(∛2, ω)，次數為 6。分裂體正是伽羅瓦理論安身的自然居所——所有根齊備，沒有多餘。