從一個體到更大的體
體 是一種數系，你可以在其中做加、減、乘、除（除數不為 0），而且通常的運算律都成立。有理數 Q 構成一個體；實數 R 也是。體擴張 不過是一個包含較小體 F 作為子系統的體 K。我們記作 K/F（讀作 “K 在 F 之上”），F 稱為 基體。
最小的有趣例子：從 Q 出發，加進 √2。為了在 +、−、×、÷ 下封閉，你不得不把所有形如 a + b√2（a、b 為有理數）的數都包含進來。這個集合記作 Q(√2)，它確實是一個體——你甚至能做除法。
Dividing inside Q(√2) — rationalize the denominator: 1 / (1 + √2) = (1 − √2) / ((1 + √2)(1 − √2)) multiply by the conjugate = (1 − √2) / (1 − 2) = (1 − √2) / (−1) = −1 + √2 Result is again of the form a + b√2 (a = −1, b = 1). Closed!
擴張就是一個向量空間
這裡有一個關鍵的視角轉換。把大體 K 看作 在小體 F 上的向量空間：向量是 K 的元素，純量取自 F。在 Q(√2) 中，每個元素 a + b√2 都是兩個 “向量” 1 和 √2 的 F-線性組合。所以 {1, √2} 是一組基，維數 是 2。
這個維數有個名字：擴張的 次數，記作 [K : F]。於是 [Q(√2) : Q] = 2。次數是一個數，刻畫了擴張 “大了多少”——而它最終會成為整套理論中最深刻的量尺。
代數的與超越的
為什麼 Q(√2) 只是 2 維而非無窮維？因為 √2 滿足一個係數為有理數的 多項式 方程：x² − 2 = 0。凡是某個這種多項式的根的數，就稱為在 F 上 代數的。添加一個代數數，總能得到有限次擴張。
有些數根本不是任何有理多項式的根——這些是 超越數，比如 π 和 e。添加這樣一個數會得到無窮維擴張。在伽羅瓦理論中，我們幾乎完全停留在友好、有限、代數的世界裡。