變換：平移、伸縮與反射

平移：整體滑動圖像

從一個母函數出發，比如 f(x) = x^2，它的圖像是頂點在原點的拋物線，頂點在原點。豎直平移在函數*外部*加一個數：f(x) + k 把圖像向上平移 k（k 為負則向下）。水平平移在*內部*加：f(x − h) 把圖像向右平移 h——注意這個看起來反著來的符號。

Parent: f(x) = x^2 (vertex at (0,0))

f(x) + 4   = x^2 + 4        -> up 4         vertex (0, 4)
f(x) - 4   = x^2 - 4        -> down 4       vertex (0, -4)
f(x - 3)   = (x - 3)^2      -> right 3      vertex (3, 0)
f(x + 3)   = (x + 3)^2      -> left 3       vertex (-3, 0)
f(x-3) + 4 = (x-3)^2 + 4    -> right 3, up 4   vertex (3, 4)

在函數外部使其豎直移動；在內部使其水平移動，且符號相反。

伸縮與反射

在*外部*相乘，a·f(x)，使圖像沿豎直方向縮放：a = 3 把它拉得更高，a = 1/2 把它壓得更扁。負的乘數給出反射：−f(x) 把圖像沿 x 軸上下翻轉，而 f(−x) 把它沿 y 軸左右翻轉。（對偶函數而言，這種左右翻轉毫無變化。）

Parent: f(x) = x^2

3 f(x)  = 3x^2      -> vertical stretch (3x taller, narrower)
(1/2)f(x)= (1/2)x^2  -> vertical shrink (flatter, wider)
-f(x)   = -x^2      -> reflect across x-axis (opens downward)
f(-x)   = (-x)^2 = x^2  -> reflect across y-axis: unchanged (even!)

乘數決定陡峭程度；負號使圖像翻越某條座標軸。

組合變換並讀懂頂點式

實際問題會疊加多種變換。穩妥的順序是：先處理*內部*（水平平移與反射），再做*外部*伸縮，最後做*外部*平移。二次函數的頂點式 g(x) = a(x − h)^2 + k 把這一切打包：它就是母函數 x^2 被縱向伸縮 a 倍、向右平移 h、向上平移 k，其頂點在 (h, k)，對稱軸為 x = h。

把 g(x) = −2(x − 1)^2 + 5 對照模板 a(x − h)^2 + k 來讀：這裡 a = −2，h = 1，k = 5。
從 x^2 開始；向右平移 1（內部的 x − 1）。
縱向伸縮 2 倍並沿 x 軸反射（即 −2）：拋物線開口向下且更陡。
向上平移 5（即 + 5）。最終頂點：(1, 5)，對稱軸 x = 1，開口向下。