分段函數、偶函數與奇函數

一個函數，幾條規則

分段函數在其定義域的不同部分使用不同的公式。想像一個話費套餐：100 分鐘以內免費，超過後按分鐘計費。定義中的每一行都帶著一個條件，告訴你它管轄哪些輸入，而且這些條件不能重疊。

          | x + 1,    if x < 0
f(x) =    | x^2,      if 0 <= x <= 2
          | 5,        if x > 2

f(-3) : -3 < 0,        use x + 1  -> -3 + 1 = -2
f(0)  : 0 in [0, 2],   use x^2    -> 0^2    = 0
f(2)  : 2 in [0, 2],   use x^2    -> 2^2    = 4
f(7)  : 7 > 2,         use 5      -> 5

偶函數：關於 y 軸對稱

當對每個 x 都有 f(−x) = f(x) 時，函數是偶函數。代入相反的輸入得到相同的輸出，所以圖像關於 y 軸鏡像對稱。典範是 f(x) = x^2；像 x^4、x^6 這樣的冪以及餘弦函數都是偶函數。

f(x) = x^2 - 4
  f(-x) = (-x)^2 - 4 = x^2 - 4 = f(x)   ->  EVEN

g(x) = x^4 + 3x^2 + 1
  g(-x) = x^4 + 3x^2 + 1 = g(x)          ->  EVEN

奇函數，以及一錘定音的檢驗

當 f(−x) = −f(x) 時，函數是奇函數：相反的輸入給出相反的輸出。其圖像關於原點呈旋轉對稱——旋轉 180° 後與自身重合。典範是 f(x) = x^3；奇次冪以及正弦函數都是奇函數。大多數函數兩者都不是，而這是一個完全合理的答案。

1. 把每個 x 換成 −x 來計算 f(−x)，然後化簡。
2. 若 f(−x) = f(x)，則為偶。若 f(−x) = −f(x)，則為奇。
3. 若兩者都不是，就直說。例：f(x) = x^3 + 1 得 f(−x) = −x^3 + 1，它既不等於 f(x) 也不等於 −f(x)——兩者都不是。