函數記號、定義域與值域

讀懂 f(x)

函數記號把函數 f 在輸入 x 處的輸出寫作 f(x)，讀作「f of x」或「f 在 x 處的值」。它不是乘法——f(x) 不表示 f 乘以 x。名字 f 標記的是規則；括號裡放的是你交給它的輸入。所以若 f(x) = 3x − 1，則 f(2) 表示「對 2 執行這條規則」：把每個 x 都換成 2。

f(x) = 3x - 1

f(2)  = 3(2) - 1   = 6 - 1   = 5
f(-4) = 3(-4) - 1  = -12 - 1 = -13
f(0)  = 3(0) - 1   = 0 - 1   = -1
f(a+1)= 3(a+1) - 1 = 3a + 3 - 1 = 3a + 2

定義域：哪些輸入被允許

定義域是規則能夠合法接受的所有輸入構成的集合。對於像 3x − 1 這樣的普通多項式，每個實數都行，所以定義域是全體實數。麻煩只在兩個常見地方出現：你不能除以零，也不能對負數取偶次方根。

1. 對 g(x) = 1/(x − 5)，令分母為零：x − 5 = 0 得 x = 5。這是一個排除值，所以定義域是除 5 以外的全體實數。
2. 對 h(x) = sqrt(x − 2)，要求被開方數 ≥ 0：x − 2 ≥ 0 得 x ≥ 2。定義域是 x ≥ 2。
3. 盡量用區間記號寫出答案：x ≥ 2 記作 [2, ∞)。

值域：哪些輸出會出現

值域是當 x 取遍整個定義域時，函數實際產生的輸出構成的集合。它通常比定義域更難求，因為你得思考哪些 y 值是可達的。一個好的起手式是問：哪些值是*不可能*出現的。

f(x) = x^2
  x^2 is never negative, and every value >= 0 is hit.
  Domain: all reals.   Range: y >= 0,  i.e. [0, infinity).

f(x) = sqrt(x - 2)
  Domain: x >= 2.
  A square root is never negative -> Range: y >= 0, i.e. [0, infinity).