什麼是函數：輸入、輸出與規則

機器的圖像

函數是一條規則：它接收一個輸入，對它做點什麼，然後返回恰好一個輸出。想像一台自動販賣機：按 B4 總是得到同一種零食。你按的按鈕是輸入，零食是輸出，機器內部的線路就是規則。關鍵就在「恰好一個」這幾個字——同一個輸入絕不會返回兩個不同的答案。

輸入是自變數（通常記作 x），輸出是因變數（通常記作 y），因為它的值*取決於*你輸入了什麼。函數把每個 x 與一個 y 配對，所以它本質上是一組整齊的有序對 (x, y)。

是函數，還是只是關係？

任意一組有序對都是一個關係。函數是其中特別規矩的一類關係：沒有任何輸入被重複使用卻給出不同的輸出。比較下面兩張表：第一張把輸入 2 配上了兩個不同的輸出，所以它違反了規則。

Relation A (NOT a function):
  x:  1   2   2   3
  y:  5   8   9   7
  -> input 2 has TWO outputs (8 and 9). Fails.

Relation B (a function):
  x:  1   2   3   4
  y:  5   8   8   7
  -> every input has ONE output. (8 repeating is fine.) Passes.

輸入只能出現一次；輸出可以自由重複。

垂直線檢驗法

當關係畫在座標平面上時，有一個一眼可辨的判別法。一個圖像表示函數，當且僅當沒有任何豎直線與它相交超過一次。這就是垂直線檢驗法。一條豎直線對應一個固定的 x；如果它兩次穿過曲線，那麼這一個 x 就有了兩個 y 值——而函數不允許這樣。

直線 y = 2x + 1：任何豎直線都只與它相交一次。是函數。
圓 x^2 + y^2 = 25：穿過中間的豎直線與它相交兩次。不是函數。
橫放的拋物線 x = y^2：同樣地，一個 x 對應兩個 y 值。不是函數。