同一想法，在更高處重演
初等代數——學校裡的科目——是帶字母的算術：化簡、求值、解方程式。但那個啟動一切的訣竅，一般化，並不就此止步。我們把*數*一般化成了*字母*。數學家隨後又邁出一步，把*運算本身*一般化。他們不再問「3 + 4 是多少？」，而是問「*任何*行為像加法的運算必須滿足什麼？」這個問題打開了通往抽象代數的大門。
二元運算不過是一條規則：接受兩個東西、返回一個——普通的加法和乘法是例子，旋轉一個正方形、或按 12 取模相加鐘點也是。抽象代數研究這類運算的共性。我們熟悉的算術定律——交換律、結合律與分配律——成為人們所要求的*公理*，其餘一切都由它們推演而出。
群、環、域——把結構當作對象
給定一個集合連同一個性質良好的運算，你就有了一個群。再加上第二個對第一個滿足分配律的運算，你就有了一個環（整數是典範例子）。進一步要求非零元素也有乘法逆元，使你能做除法，你就有了一個體（有理數、實數、複數各構成一個）。這門學科已經完全不再關乎數了；它關乎*結構*——運算如何相互作用的形態。
Clock arithmetic mod 4 — addition table:
+ | 0 1 2 3
----+-----------
0 | 0 1 2 3
1 | 1 2 3 0
2 | 2 3 0 1
3 | 3 0 1 2
Check the GROUP idea:
• 0 is the identity (0 + a = a)
• each element has an inverse:
1 + 3 = 0, 2 + 2 = 0
• addition stays inside {0,1,2,3}
This tiny set of 4 elements is a genuine group —
no infinite number line required.你起步時並不需要這些，本系列其餘的指南也都貼近地面。但知道這條路通向何方是值得的：第 1 篇裡「用字母代表數」的同一動作，一再施行，竟成長為數學中最深邃的領域之一——對體、群與環的研究，那裡的對象不再是數量，而是結構的模式本身。