代入與公式的力量

把數放進字母的位置

代入意味著用選定的數替換字母，然後計算。若表達式為 2x + 1，而我們決定 x = 5，便寫 2·(5) + 1，並按運算順序得到 11。這個動作——代入求值——正是一般表達式給出具體值的方式。給數加上括號是個好習慣，能防止符號和分組的錯誤。

Expression:  x² − 3x + 4

Evaluate at x = 2:
  (2)² − 3·(2) + 4
   = 4   − 6      + 4
   = 2

Evaluate at x = −1:
  (−1)² − 3·(−1) + 4
   = 1   + 3       + 4
   = 8

Same formula, two inputs, two answers — no new work
beyond plugging in and following PEMDAS.

一個表達式，透過代入在兩個值處求值。

為何一個公式能服務無窮情形

公式是一個用一般術語陳述某種關係的方程式，隨時可經代入而特殊化。圓的面積 A = πr² 只是一行；然而代入 r = 1、r = 3、r = 100，它就能回答一切存在的圓。這就是一般化化作工具：你用符號把那個*關係*求解一次，此後每個現實情形都只差一次代入。

Formula:  A = π r²   (one statement)

  r = 1   →  A = π·1²   = π      ≈ 3.14
  r = 3   →  A = π·3²   = 9π     ≈ 28.27
  r = 10  →  A = π·10²  = 100π   ≈ 314.16

Three circles, three answers, ZERO new derivations.
We proved the relation once; substitution did the rest.

單個公式能回答你所能代入的任意多種情形。

代入也在公式*之間*運行。若一個公式給出你在別處需要的值，你可以把整個表達式代進去——這正是後來驅動方程組代入法的同一思想，也讓你能做公式變形以解出另一個字母。用某符號所等於的東西去替換它，這一樸素動作是整個數學中最常被重用的招數之一。