幾何變為次數
從兩個點出發，稱它們的距離為 1，把它們放在平面上的 0 與 1 處。一個點是可作的，如果你能用有限步僅有的兩種合法操作到達它：過兩個已知點畫一條直線，以一個已知點為圓心過另一點畫一個圓。每個新點都是這樣兩條線/圓的交點——而求解線-線、線-圓、圓-圓交點只涉及體運算，至多一個 平方根。
把它翻譯成代數。可作數構成一個體（對 +、−、×、÷ 封閉），並且關鍵地對正元素開平方封閉。每個作圖步驟至多添加一個平方根，故一個 可作數 α 位於一座塔 ℚ = K₀ ⊆ K₁ ⊆ … ⊆ K_n ∋ α 的頂端，其中每個 [K_{i+1} : K_i] = 1 或 2。
三個不可能
現在著名的問題排成一列倒下。倍立方：為體積兩倍的立方體造一條稜，意味著作出 α = 2^(1/3)。它的極小多項式是 x³ − 2（在 2 處艾森斯坦），故 [ℚ(2^(1/3)):ℚ] = 3。3 不是 2 的冪——不可能。三等分一般角：60° 角可作，但三等分它需要 cos 20°，它滿足不可約的 8x³ − 6x − 1，又給出 3 次——不可能。
Trisecting 60 degrees is impossible. Triple-angle identity: cos(3t) = 4 cos^3(t) - 3 cos(t). Put 3t = 60, so cos(3t) = 1/2, and let c = cos(20): 1/2 = 4 c^3 - 3 c 8 c^3 - 6 c - 1 = 0. Let f(x) = 8x^3 - 6x - 1. Test for rational roots p/q with p | 1, q | 8: candidates +-1, +-1/2, +-1/4, +-1/8 -> none give 0 (check x=1/2: 1 - 3 - 1 = -3, etc.) A cubic with no rational root is irreducible over Q, so [Q(c):Q] = 3. 3 is NOT a power of 2 => cos(20) is not constructible => 60 deg cannot be trisected. (Same template kills doubling the cube: x^3 - 2 irreducible, degree 3.)
化圓為方：與單位圓同面積的正方形需要一條邊長 √π。但 π 是超越的（林德曼，1882），故 √π 也是——它*根本不滿足* ℚ 上任何多項式，更不用說 2 的冪次的了。這是三者中最深的：它不依賴次數計算，而依賴超越性，一個遠在我們工具箱之外的結果，坦誠如此。
以及一件它能做的事
次數判據是必要的，但單憑它並不充分——不過對正 n 邊形，完整的故事很美，並且這是高斯登場之處。正 17 邊形*是*可作的：cos(2π/17) 居於 分圓擴張 ℚ(ζ₁₇) 中，其 伽羅瓦 次數為 φ(17) = 16 = 2⁴，一座二次塔。完整定理（高斯–萬策爾）：正 n 邊形可作若且唯若 n 是 2 的冪乘以若干互異的費馬質數。少年高斯作出 17 邊形，正是體論與幾何握手的歷史時刻。