不重複的根
一個多項式是可分的，當它在分裂體上沒有重根。檢測器是形式導數：f 有重根若且唯若 gcd(f, f′) ≠ 1。對*不可約*的 f，這只有在 f′ 恆等於 0 時才可能失敗——而在特徵 0 的體上，非常數的 f 不可能如此，故特徵 0 中每個不可約多項式都是 可分的，每個代數擴張都是 可分的。麻煩只存在於特徵 p。
在特徵 p 中，f′ = 0 恰好發生在 f 是 xᵖ 的多項式時。標準的警示故事是 𝔽_p(t) 中的 t：在體 K = 𝔽_p(tᵖ) 上，多項式 xᵖ − tᵖ = (x − t)ᵖ 以 t 為 p 重根，故 K(t)/K 是 不可分的。這種情況*不可能*發生的體——其中每個不可約多項式都可分——稱為 完全體；它們包括全部特徵 0 的體和全部有限體。
有限體的完全分類
這是代數中最乾淨的分類定理之一。一個 有限體 恰有 q = pⁿ 個元素，p 為質數、n ≥ 1 為整數；並且對每個這樣的 q，在同構意義下有且只有一個那麼大的體，記作 𝔽_q。它是 x^q − x 在 𝔽_p 上的分裂體——恰好是該多項式的 q 個根。而 𝔽_{p^m} ⊆ 𝔽_{p^n} 若且唯若 m 整除 n。整個子體格不過就是 n 的因子格。
兩顆結構寶石。其一，乘法群 𝔽_q^× 是階為 q − 1 的 循環群——它的生成元稱為有限體的本原元素。其二，𝔽_q/𝔽_p 是一個 伽羅瓦擴張，其 伽羅瓦群 是階為 n 的循環群，由弗羅貝尼烏斯 x ↦ xᵖ 生成。有限體的伽羅瓦群是伽羅瓦群中最簡單的一類：永遠是循環的。
Build F_8 = F_2[x]/(x^3 + x + 1).
x^3 + x + 1 is irreducible over F_2 (no root: f(0)=1, f(1)=1). Let a = class of x.
Elements: all c0 + c1*a + c2*a^2 with ci in {0,1} -> 2^3 = 8 elements.
Rule for reducing: a^3 = a + 1 (since a^3 + a + 1 = 0, and -1 = 1 in F_2).
Powers of a (check it generates F_8^*, a cyclic group of order 7):
a^1 = a
a^2 = a^2
a^3 = a + 1
a^4 = a*a^3 = a^2 + a
a^5 = a*a^4 = a^3 + a^2 = a^2 + a + 1
a^6 = a*a^5 = a^3 + a^2 + a = a^2 + 1
a^7 = a*a^6 = a^3 + a = (a+1) + a = 1 <-- order exactly 7, so a is primitive.
Galois group of F_8/F_2 = <Frobenius>, Frob(y) = y^2, cyclic of order 3.
The 3 roots of x^3+x+1 are a, a^2, a^4 (= Frob orbit of a).一個元素統御全部
可分性的回報是本原元素定理：每個*有限可分*擴張都是單擴張，L = K(γ) 僅由單個 γ 生成。所以在特徵 0 中，任何有限擴張——無論你起初用了多少個生成元——都由一個元素生成。我們在第 2 篇裡具體見過：ℚ(√2, √3) = ℚ(√2 + √3)。本原元素定理 使第 2 篇的極小多項式機器適用於*所有*有限可分擴張，而不只是那些顯然單的。