為每個根騰出空間
給定多項式 f ∈ K[x]，它的分裂體是 f 完全分解為線性因子的最小擴張 L/K——並且由這些根生成。你透過反覆添加根來構造它：找一個不可約因子，經由 K[x]/(那個因子) 添加一個根，再在新體上重複，直到 f 分裂。分裂體 對任何 f 都存在，且它在 K 上的次數整除 (deg f)!。
Splitting field of f(x) = x^3 - 2 over Q. Roots: a = 2^(1/3), a*w, a*w^2 where w = e^(2*pi*i/3) is a primitive cube root of 1. Step 1: adjoin a. [Q(a):Q] = 3 (x^3-2 is Eisenstein at p=2, so irreducible). But Q(a) is REAL, it cannot contain the complex roots a*w, a*w^2. Step 2: adjoin w (root of x^2 + x + 1). [Q(a,w):Q(a)] = 2. Tower law: [Q(a,w):Q] = 3 * 2 = 6. So the splitting field has degree 6, not 3 — splitting needs the roots of unity, not just one real cube root. (Its Galois group is S_3.)
唯一性與正規性
分裂體在 K-同構意義下唯一——同一個 f 的任意兩個分裂體之間存在一個固定 K 的同構。證明是整個學科的核心技術引理：基體之間的一個同構可以逐根地延拓為分裂體之間的同構，因為每個根的 極小多項式 被送到另一邊的一個不可約因子。這個 嵌入延拓 論證值得掌握；它驅動伽羅瓦理論中的一切。
一個有限擴張 L/K 是正規的，當它以全有或全無的方式捕獲根：若 K[x] 中一個不可約多項式在 L 中有*一個*根，它就在 L 中有它*全部*的根。乾淨的定理：對有限擴張，正規 ⟺ L 是某個 K 上多項式的分裂體。正規性是「沒有被捉到一半的根」這一條件；你在第一卷裡已瞥見它，是使伽羅瓦理論運轉的一部分。
閉合的宇宙
把分裂推到極限，你就得到一個代數閉體：其中*每個*非常數多項式都已分解為線性片段。ℂ 是著名的例子——這正是 代數基本定理。K 的一個 代數閉包 K̄ 是 K 的一個代數擴張，且它自身代數閉；它是 K 上*所有*多項式的共同分裂體。
攜帶兩個事實：每個體都有代數閉包，且它在（非典範的）同構意義下唯一。存在性證明需要佐恩引理——要誠實地承認這確實是非構造性的——但一旦有了 K̄，K 的每個代數擴張都嵌入其中。這就是為什麼人們說「固定一個 代數閉包」並在其中工作：它是所有根棲居、所有 嵌入 落腳的環境房間。