定義 α 的多項式
固定 α 在 K 上代數。在 K[x] 中所有在 α 處取零的非零多項式裡，存在唯一一個次數最小的首一多項式。這就是 極小多項式 m_α(x)。這裡的結構是一個 求值同態：映射 K[x] → K(α) 把 x ↦ α，它有一個核；又因為 K[x] 是主理想整環，那個核是單個主理想 (m_α)。三條性質把它釘死，你應該能背出來。
- m_α 在 K 上不可約。（若它可分解，某個因子已在 α 處為零，與極小性矛盾。）
- m_α 整除 K[x] 中每一個在 α 處為零的多項式。（它生成整個核。）
- deg m_α = [K(α):K]。多項式的次數等於擴張的次數。
實踐中如何找它
造一個殺死 α 的多項式很容易；證明它是極小的就意味著證明不可約性。你從第一卷帶來的工具箱正是要伸手去拿的：艾森斯坦判別法、模 p 約化、有理根檢驗、以及數次數。體上 2 次或 3 次多項式不可約若且唯若它在該體中無根——但到 4 次及以上這條捷徑失效，因為一個四次式可能分解成兩個無根的不可約二次式。
Find the minimal polynomial of a = 2^(1/2) + 3^(1/2) over Q. Let a = 2^(1/2) + 3^(1/2). a^2 = 2 + 2*6^(1/2) + 3 = 5 + 2*6^(1/2) a^2 - 5 = 2*6^(1/2) (a^2 - 5)^2 = 4 * 6 = 24 a^4 - 10a^2 + 25 = 24 a^4 - 10a^2 + 1 = 0 Candidate: f(x) = x^4 - 10x^2 + 1. Irreducible over Q? Rational Root Test: possible roots +-1, neither works -> no linear factors. No factorization into two rational quadratics x^2+bx+c, x^2-bx+d works out (matching coefficients forces b,c,d off the rationals). So f is irreducible. Therefore m_a(x) = x^4 - 10x^2 + 1 and [Q(a):Q] = 4. Note: Q(a) = Q(2^(1/2), 3^(1/2)), the degree-4 field from Guide 1 — a single element a generates it. (That is the primitive element phenomenon, Guide 4.)
在 K(α) 內部計算
一旦你知道 m_α 的次數是 n，K(α) 的每個元素都唯一地寫成 c₀ + c₁α + … + c_{n-1}α^{n-1}，其中 cᵢ ∈ K——冪 1, α, …, α^{n-1} 構成一組基。乘法就是多項式相乘再對 m_α 取模。求逆看著嚇人，其實是機械的：對這些 多項式 跑 擴展歐幾里得演算法。
Invert (1 + a) in K = Q[a]/(a^3 - 2), where a = 2^(1/3). We want u(x) with (1 + x) u(x) = 1 mod (x^3 - 2). Extended Euclid on x^3 - 2 and x + 1: x^3 - 2 = (x + 1)(x^2 - x + 1) - 3 => 3 = (x + 1)(x^2 - x + 1) - (x^3 - 2) => 1 = (x + 1) * [ (x^2 - x + 1)/3 ] - (x^3 - 2)/3 Reduce mod (x^3 - 2): (1 + a)^(-1) = (a^2 - a + 1)/3. Check: (1 + a)(a^2 - a + 1) = a^3 + 1 = 2 + 1 = 3. Divide by 3 -> 1. Correct.