擴張、次數與塔法則

體之上的體

你在第一卷裡見過 體擴張，只是順帶一提：ℚ 落在 ℝ 中，ℝ 又落在 ℂ 中。現在我們讓它們成為主角。一個體擴張 L/K 不過是一個體 L 連同它的一個子體 K。斜線讀作「L 在 K 之上」。整個學科裡最關鍵的一個想法是：因為 K 是體而 L 是 K-向量空間（L 的元素可以相加，也可以乘以來自 K 的標量），擴張自動就是一個 向量空間。於是我們可以問它的維數。

這個維數就是擴張的次數，記作 [L:K]。當它有限時，我們稱 L/K 為有限擴張。最小的非平凡例子：ℂ = ℝ(i) 在 ℝ 上以 {1, i} 為基，故 [[degree-of-an-extension|[ℂ:ℝ] = 2]]。同樣地 ℚ(√2) = {a + b√2 : a, b ∈ ℚ} 以 {1, √2} 為基，次數為 2。次數衡量 L 在 K 之上添加了多少個「獨立方向」。

添加一個元素

給定某個更大體中的 α，K(α) 是包含 K 與 α 的最小體——一個 單擴張。α 恰好只有兩種可能。若 α 不滿足 K 上任何非零多項式，它就是超越的，此時 K(α) 是有理函數體 K(x) 的副本，無限維。若 α 滿足某個多項式，它就是代數的，此時 K(α) 在 K 上有限。本軌道幾乎所有內容都在代數情形裡。

一個 代數擴張 指的是其中*每個*元素都在 K 上代數。一個你應立即內化的乾淨事實：每個有限擴張都是代數的。理由很短——若 [L:K] = n，則對任意 α，這 n+1 個冪 1, α, α², …, αⁿ 在 K 上不可能線性無關，故它們的某個 K-線性組合為零，這就是一個多項式關係。逆命題不成立：代數擴張可以是無限的，例如 ℚ 上所有代數數構成的體。

次數相乘

本學科的主力定理是塔法則：若 K ⊆ M ⊆ L 是一座體塔，則 [[tower-law|[L:K] = [L:M]·[M:K]]]。次數是可乘的。證明純屬線性代數：取 M 在 K 上的基 {mᵢ} 與 L 在 M 上的基 {lⱼ}；則乘積 {mᵢ lⱼ} 構成 L 在 K 上的基。數一數：（mᵢ 的個數）·（lⱼ 的個數）。就這樣。

Compute [Q(2^(1/2), 3^(1/2)) : Q].

Tower:  Q  <  Q(2^(1/2))  <  Q(2^(1/2), 3^(1/2)) = L

Step 1:  [Q(2^(1/2)) : Q] = 2    (basis {1, 2^(1/2)}; x^2 - 2 is the relation)

Step 2:  [L : Q(2^(1/2))] = ?
  Is 3^(1/2) already in Q(2^(1/2))?  Suppose 3^(1/2) = a + b*2^(1/2),  a,b in Q.
  Square:  3 = a^2 + 2b^2 + 2ab*2^(1/2).
  Since 2^(1/2) is irrational, need ab = 0.
    b = 0 => 3 = a^2, no rational a.
    a = 0 => 3 = 2b^2, no rational b.
  Contradiction, so 3^(1/2) is NOT in Q(2^(1/2)), and x^2 - 3 stays irreducible there.
  Hence [L : Q(2^(1/2))] = 2.

Tower law:  [L : Q] = 2 * 2 = 4.
A Q-basis of L:  {1, 2^(1/2), 3^(1/2), 6^(1/2)}.