完全分解、不可約多項式與求根

一套分解策略,以及什麼才算做完

先 GCF——總是先提出各項的最大公因式。
數項數:兩項→試平方差或立方和/立方差;三項→三項式或完全平方;四項→分組。
對每個部分再次分解,直到無法繼續拆分。
把所有因式乘回去檢驗。

當沒有因式能在你被允許使用的數域內繼續拆分時,答案就是[[completely-factored|完全分解]]的。一個根本無法分解(除了平凡的 1 乘它本身)的多項式,就是[[prime-polynomial|不可約多項式]]——質數在代數裡的「表親」。例如:x^2 + 1 與 x^2 + x + 1 在實數範圍內都是不可約的。

零積性質

這就是因式分解一直在鋪墊的回報。[[zero-product-property|零積性質]]說:若乘積等於零,則至少有一個因式為零。這只對零成立——知道乘積等於 12 並不能告訴你各因式分別是多少。所以要解一個方程式,就把所有項移到一邊使其等於 0,分解,再令每個因式等於 0。每個因式給你一個根。

Solve x^2 + 7x + 12 = 0      (already equals 0)

Factor:        (x + 3)(x + 4) = 0
Zero-product:  x + 3 = 0   or   x + 4 = 0
Roots:         x = -3       or   x = -4

Watch out — set the equation to 0 FIRST:
Solve x^2 = 5x + 6
  x^2 - 5x - 6 = 0
  (x - 6)(x + 1) = 0
  x = 6  or  x = -1   (NOT from x^2 = 5x+6 directly)

[[factoring-to-solve|因式分解解方程式]]:先令其為 0,分解,再令每個因式 = 0。

重根與一次合理性檢查

當某個因式重複出現時,你會得到一個[[double-root|重根]]——同一個根被算了兩次。由 (x - 5)^2 = 0 知唯一解是 x = 5,但它是一個重根。因式個數(把重複計入)總等於方程式的次數,這悄悄保證了你已經把根找全。