平方差
這些形式是特殊乘積反過來讀。最乾淨的是[[difference-of-two-squares|平方差]]:a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)。兩個完全平方數中間夾一個減號,立刻就能拆開。注意:兩個平方數之*和* a^2 + b^2 在實數範圍內不能分解——它是不可約多項式。
9x^2 - 25 = (3x)^2 - 5^2 = (3x + 5)(3x - 5)
Apply it twice when squares hide inside squares:
x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2
= (x^2 + 4)(x^2 - 4)
= (x^2 + 4)(x + 2)(x - 2)
(x^2 + 4 is a sum of squares -> stops here)完全平方三項式
[[perfect-square-trinomial|完全平方三項式]]是二項式平方展開後的樣子:a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2,a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2。辨識信號:首項和末項都是完全平方,且中間項恰好是它們平方根乘積的兩倍。你當然可以用 AC 法硬算,但認出形式更快、也更不易出錯。
Recognize x^2 + 12x + 36 first term: x^2 -> sqrt is x last term: 36 -> sqrt is 6 middle test: 2 * x * 6 = 12x ✓ matches x^2 + 12x + 36 = (x + 6)^2 4x^2 - 20x + 25 = (2x)^2 - 2(2x)(5) + 5^2 = (2x - 5)^2
立方和與立方差
與平方不同,立方在和與差兩種情形下都能分解。[[sum-of-cubes|立方和]]:a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)。[[difference-of-cubes|立方差]]:a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)。許多人用的口訣是「SOAP」:二項式取相同(Same)符號,三項式中間項取相反(Opposite)符號,末項總為正(Always Positive)。
x^3 + 8 = x^3 + 2^3
= (x + 2)(x^2 - 2x + 4)
27x^3 - 1 = (3x)^3 - 1^3
= (3x - 1)(9x^2 + 3x + 1)
The trinomial factor (x^2 - ab + b^2) rarely factors further -> usually prime.