分解三項式與 AC 法

簡單情形:首項係數為 1

分解三項式 x^2 + bx + c 就是逆向 FOIL:你要找 (x + p)(x + q),其中乘開後 p + q = b 且 p·q = c。所以去找 c 的某個相加等於 b 的因數對。先列出 c 的所有因數對,再檢驗它們的和。

Factor x^2 + 7x + 12

Need p*q = 12 and p+q = 7
Factor pairs of 12:  1*12 (sum 13)
                     2*6  (sum 8)
                     3*4  (sum 7)  <- this one

x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)

Signs: for x^2 - 7x + 12 use -3 and -4 -> (x - 3)(x - 4)
       for x^2 - x - 12 need product -12, sum -1 -> +3, -4 -> (x + 3)(x - 4)

找出 c 中相加等於 b 的因數對;符號由 c 與 b 決定。

首項係數不為 1 時的 AC 法

當首項係數 a 不為 1 時,憑眼睛逆向 FOIL 會很難。[[ac-method|AC 法]]把它變成機械步驟:計算 a·c,找兩個數乘積為 a·c、相加為 b,用它們拆開中間項,再用分組收尾。

Factor 6x^2 + 11x + 3   (a=6, b=11, c=3)

a*c = 6*3 = 18
Need two numbers: product 18, sum 11  ->  9 and 2

Split the middle term 11x as 9x + 2x:
6x^2 + 9x + 2x + 3

Group:  (6x^2 + 9x) + (2x + 3)
      = 3x(2x + 3) + 1(2x + 3)
      = (2x + 3)(3x + 1)

Check (FOIL): (2x+3)(3x+1) = 6x^2 + 2x + 9x + 3 = 6x^2 + 11x + 3  ✓

用 a·c 的兩個數把 11x 拆成 9x + 2x,再分組。

先提出 GCF——絕不跳過,它會縮小 a、b、c。
計算 a·c,找乘積為 a·c、相加為 b 的兩個數。
用那兩個數把中間項 bx 改寫成兩項之和。
把四項分組配對分解;用 FOIL 驗證。