分數指數與分母有理化

指數裡出現分數就代表方根

b^(1/2) 該是什麼意思？要求冪的法則仍然成立：(b^(1/2))^2 = b^(1/2 · 2) = b^1 = b。所以 b^(1/2) 是一個平方後等於 b 的數——它就是平方根。一般地，分數指數 1/n 就是 n 次方根：b^(1/n) = b 的 n 次方根。

一般的分數 m/n 把兩者結合起來：b^(m/n) 表示先開 n 次方再 m 次乘方，兩種順序都可以。分母是根指數（開幾次方），分子是乘方的次數。把 b^(2/3) 讀作「先開立方根，再平方」，能讓計算更省事。

9^(1/2)  = sqrt(9) = 3
8^(1/3)  = cube root of 8 = 2
8^(2/3)  = (8^(1/3))^2 = 2^2 = 4      (root first, then square)
16^(3/4) = (16^(1/4))^3 = 2^3 = 8

Negative + fractional:  4^(−1/2) = 1 / 4^(1/2) = 1/2

分母 = 開方次數，分子 = 乘方次數。先開方讓數字保持小。

對單項分母作有理化

按慣例，我們不把根式留在分母裡。有理化的做法是給分數乘上一個巧妙形式的 1，從而去掉它。對單個平方根分母，把分子分母同乘那個相同的根：分母變成整數，而分數的值不變。

  3            3     sqrt(2)     3·sqrt(2)
------  =  ------ · -------  =  ---------
sqrt(2)     sqrt(2)  sqrt(2)        2

   5          5      sqrt(3)    5·sqrt(3)
-------  =  ------ · -------  = ---------
2·sqrt(3)   2·sqrt(3) sqrt(3)       6

乘以 sqrt(2)/sqrt(2) = 1；sqrt(2)·sqrt(2) = 2 把分母變乾淨。

兩項分母：用共軛

當分母是像 1 + sqrt(2) 這樣的兩項時，乘相同的根並不能把它清掉。改乘共軛——把那兩項中間的符號翻過來。乘積遵循 (a+b)(a−b) = a^2 − b^2，平方一來就把根號消掉了。

    1                1        (1 − sqrt(2))
--------- =  --------------- · -------------
1 + sqrt(2)   1 + sqrt(2)       1 − sqrt(2)

denominator: (1)^2 − (sqrt(2))^2 = 1 − 2 = −1

     1 − sqrt(2)
  =  -----------  =  −(1 − sqrt(2))  =  sqrt(2) − 1
        −1

共軛 1 − sqrt(2) 把分母變成 1 − 2 = −1。