零指數、負指數與科學記數法

為什麼任何數的零次方都是 1

我們希望已經信賴的法則繼續成立。用商的法則把一個冪除以它自己：b^n / b^n。約分後顯然等於 1；但按法則它是 b^(n−n) = b^0。兩個答案必須一致，所以對任何非零底數 b^0 = 1。零指數不是隨便約定的——它是唯一能讓代數保持自洽的取值。

b^n / b^n = 1           (a thing over itself)
b^n / b^n = b^(n−n)     (quotient rule)
          = b^0

so  b^0 = 1   (b ≠ 0).    Examples: 7^0 = 1,  (−5)^0 = 1,  (2x)^0 = 1

同一個商用兩種方式算，把 b^0 釘在了 1 上。

負指數就是倒數

把同樣的想法再推一步。b^2 / b^5 約分得 1/b^3，而法則給出 b^(2−5) = b^(−3)。所以 b^(−3) = 1/b^3。一般地，負指數表示取倒數：b^(−n) = 1/b^n。帶負指數的因子並非數值為負——它只是該待在分數線的另一邊。

2^(−3) = 1 / 2^3 = 1/8
3x^(−2) = 3 / x^2          (only x moves; the 3 stays)
(2/5)^(−1) = 5/2           (flip the fraction)

Move a factor across the bar and flip the sign of its exponent:
  x^(−4) y^2  =  y^2 / x^4

負指數把它的因子送到分數線另一邊，指數隨之變正。

科學記數法

科學記數法把一個數寫成 a · 10^k，其中小數係數 a 滿足 1 ≤ a < 10，k 是整數。k 為正時小數點右移（大數）；k 為負時小數點左移（小數）。這正是負指數那套思想換上了工作服。

93,000,000  = 9.3 × 10^7    (move point left 7 places)
0.00042     = 4.2 × 10^(−4) (move point right 4 places)

Multiply: (3 × 10^5)(2 × 10^(−8))
        = (3·2) × 10^(5 + (−8))
        = 6 × 10^(−3) = 0.006

係數相乘，10 的冪用積的法則把指數相加。