指數運算律：積、商與冪的法則

相乘：指數相加

積的法則說：相乘的兩個冪如果底數相同，就保留底數、把指數相加：b^m · b^n = b^(m+n)。為什麼？因為每個冪不過是一堆因子，把兩堆併在一起就成了更大的一堆。數一數就明白了。

2^3 · 2^4 = (2·2·2) · (2·2·2·2)
          = 2·2·2·2·2·2·2
          = 2^7        (3 + 4 = 7)

Check:  2^3 · 2^4 = 8 · 16 = 128 = 2^7  ✓

積的法則就是數因子：3 個加 4 個等於 7 個。

相除：指數相減

商的法則是它的鏡像：對同一個非零底數，b^m / b^n = b^(m−n)。相除會把上下相同的因子約掉，留下來的就是因子個數之差。

x^5 / x^2 = (x·x·x·x·x) / (x·x)
          = x·x·x          (two factors cancel)
          = x^3            (5 − 2 = 3)

With coefficients:  20y^7 / 5y^3 = (20/5)·y^(7−3) = 4y^4

約掉共有的因子，剩下的個數就是 m − n。

冪的乘方、積的乘方與商的乘方

冪的法則處理「冪的乘方」：(b^m)^n = b^(m·n)。你有 n 個 b^m，每個帶 m 個因子，合起來共 m·n 個因子。還有兩個近親也在這裡：積的乘方會分配，(ab)^n = a^n b^n；商的乘方同理，(a/b)^n = a^n / b^n。

(x^3)^4 = x^3 · x^3 · x^3 · x^3 = x^12   (3 · 4 = 12)
(2x)^3  = 2^3 · x^3 = 8x^3
(x/3)^2 = x^2 / 3^2 = x^2 / 9

Mixed:  (2x^2 y)^3 = 2^3 · x^6 · y^3 = 8x^6 y^3

冪的乘方是相乘；積與商的乘方會分配到每個因子上。