代數基本定理

每個多項式都有根

在實數上，有些多項式根本沒有根——x^2 + 1 = 0 就把你卡住。代數基本定理說，一旦允許複數，這種情況就不再發生：每個帶複（因而也包含實）係數的非常數多項式都至少有一個複根。反覆使用它，n 次多項式就完全分解成 n 個一次因式，所以按重數計恰有 n 個根。

共軛對與判別式

當多項式具有實係數時，它的非實根成共軛對出現：若 a + bi 是根，則 a - bi 也是根。這就是為什麼實係數三次式總有至少一個實根——共三個根，但非實根兩兩成對，所以必剩下一個是實的。對二次方程式 ax^2 + bx + c = 0，判別式 b^2 - 4ac 道破真相：為負就有兩個共軛複根。

solve  x^2 - 4x + 13 = 0   by the quadratic formula

  x = ( -b ± sqrt(b^2 - 4ac) ) / (2a),   a=1, b=-4, c=13
  discriminant: (-4)^2 - 4·1·13 = 16 - 52 = -36   (< 0)

  x = ( 4 ± sqrt(-36) ) / 2
    = ( 4 ± 6i ) / 2
    = 2 ± 3i

  roots: 2 + 3i  and  2 - 3i   — a conjugate pair ✓

判別式為負，給出兩個共軛複根。

注意二次公式從未失效——它只是產生了 sqrt(-36)，我們現在把它讀作 6i。複數不改變公式；它們只是讓公式終於總能算到底。

由根反建多項式

把邏輯倒過來。因為根決定因式，你可以由指定的根反建一個實係數多項式——共軛對相乘又變回實係數二次式，所以沒有 i 殘留。

build a polynomial with roots 2 + 3i and 2 - 3i:

  (x - (2 + 3i))(x - (2 - 3i))
    = ( (x - 2) - 3i )( (x - 2) + 3i )
    = (x - 2)^2 - (3i)^2          [difference of squares]
    = (x^2 - 4x + 4) - (9)(-1)
    = x^2 - 4x + 4 + 9
    = x^2 - 4x + 13              ← real coefficients, no i

共軛根相乘得到實係數二次式。