極坐標形式下的乘法
這正是極坐標形式大顯身手之處。當你把兩個極坐標形式的複數相乘時，模相乘，輻角相加。從幾何上看，乘以一個模為 r、角為 θ 的數，就是縮放 r 倍並旋轉 θ——乘法就是旋轉加縮放。
z1 = r1(cos α + i sin α), z2 = r2(cos β + i sin β)
z1 · z2 = r1·r2 [ cos(α + β) + i sin(α + β) ]
example: 2(cos 30° + i sin 30°) · 3(cos 40° + i sin 40°)
= 6 (cos 70° + i sin 70°)求冪的棣莫弗定理
把 z 自乘 n 次，規則就累積起來：模取 n 次冪，輻角乘以 n。這就是棣莫弗定理。它把像 (1 + i)^10 這樣可怕的冪變成一行計算。
[ r(cos θ + i sin θ) ]^n = r^n ( cos nθ + i sin nθ )
example: (1 + i)^10
polar: 1 + i = sqrt(2)(cos 45° + i sin 45°)
power: (sqrt(2))^10 ( cos 450° + i sin 450° )
= 32 (cos 90° + i sin 90°) [450° = 360° + 90°]
= 32 (0 + i·1) = 32i單位根
把棣莫弗定理反過來用就能開根。方程式 z^n = 1 恰好有 n 個解，即 n 次單位根。每個的模都是 1（所以它們在單位圓上），輻角以 360°/n 均勻分佈。它們是正 n 邊形的頂點，其中總有一個在 z = 1。
solve z^3 = 1 (cube roots of unity) 1 = cos(0° + 360°k) + i sin(0° + 360°k), k = 0,1,2 z = cos(120°k) + i sin(120°k) k=0: cos 0° + i sin 0° = 1 k=1: cos 120° + i sin 120° = -1/2 + (sqrt(3)/2) i k=2: cos 240° + i sin 240° = -1/2 - (sqrt(3)/2) i three points, 120° apart, on the unit circle ✓
- 把目標寫成極坐標形式，輻角加上 +360°k。
- 對模取 n 次根，並把輻角除以 n。
- 讓 k = 0, 1, …, n-1 列出全部 n 個不同的根；更大的 k 只是重複。