複平面、模與輻角

在阿爾岡平面上作圖

正如坐標平面容納有序對，複平面（或阿爾岡圖）容納複數。把 z = a + bi 畫在點 (a, b)：水平軸承載實部，豎直軸承載虛部。所以 3 + 2i 在右 3 上 2 處；-1 - 4i 在左 1 下 4 處。

把 z 看成從原點指向 (a, b) 的箭頭也很有幫助。這樣兩個複數相加就成了首尾相接的向量加法——一幅讓和看得見的幾何圖像。

模：離原點多遠

z = a + bi 的模記作 |z|，是那個箭頭的長度——從原點到 (a, b) 的距離。由勾股定理，|z| = sqrt(a^2 + b^2)。對實數而言這就是它的絕對值，所以 |z| 把 |x| 推廣到了平面。注意 |z|^2 = a^2 + b^2 = z·z-bar，把模和共軛聯繫起來。

z = 3 + 4i
|z| = sqrt(3^2 + 4^2) = sqrt(9 + 16) = sqrt(25) = 5

z = -1 + i
|z| = sqrt((-1)^2 + 1^2) = sqrt(2)

輻角與極坐標形式

z 的輻角記作 arg(z) 或 θ，是箭頭與正實軸所成的角，按逆時針方向度量。r = |z| 和 θ 一起完全確定 z：a = r cos θ，b = r sin θ。代入便得極坐標形式 z = r(cos θ + i sin θ)，常簡記為 r cis θ。

1. 計算模 r = sqrt(a^2 + b^2)。
2. 由 tan θ = b/a（取 |b/a|）求出參考角。
3. 根據 a 和 b 的符號把 θ 放到正確的象限——不要盲信計算器的反正切。

z = 1 + i
  r = sqrt(1 + 1) = sqrt(2)
  tan θ = 1/1 = 1, and z is in quadrant I → θ = 45° = π/4
  polar form: sqrt(2)(cos 45° + i sin 45°)

z = -1 + i  (quadrant II)
  r = sqrt(2),  reference angle 45°,  θ = 135° = 3π/4
  polar form: sqrt(2)(cos 135° + i sin 135°)