複數及其運算

a + bi 的形式

複數寫作 z = a + bi，其中 a 和 b 是普通實數。我們稱 a 為實部，b 為虛部（注意：虛部是實數 b，不是 bi）。當 b = 0 時它就是普通實數；當 a = 0 時它是純虛數。所以實數作為特例包含在複數之中。

加法和減法很簡單：實部和實部合併，虛部和虛部合併，就像代數裡合併同類項一樣。

(3 + 5i) + (4 - 2i) = (3 + 4) + (5 - 2)i = 7 + 3i
(3 + 5i) - (4 - 2i) = (3 - 4) + (5 + 2)i = -1 + 7i

實部對實部，虛部對虛部。

用 FOIL 做乘法

要相乘兩個複數，把它們當作兩個二項式，用 FOIL。唯一的新步驟：凡是出現 i^2 的地方，就換成 -1 並整理。

(3 + 2i)(4 - 5i)
  F: 3·4   = 12
  O: 3·(-5i) = -15i
  I: 2i·4  =  8i
  L: 2i·(-5i) = -10i^2 = -10(-1) = +10

  = 12 + 10 + (-15i + 8i)
  = 22 - 7i

先 FOIL，再把 i^2 變成 -1 並合併。

共軛與除法

z = a + bi 的複共軛是 z-bar = a - bi：實部相同，虛部變號。要做除法，把分子和分母同乘分母的共軛。這恰好就是分母有理化——因為 (a + bi)(a - bi) 是實數，從而把分母裡的 i 消掉。

(4 + i) / (2 - 3i)

multiply top & bottom by conjugate 2 + 3i:

  numerator:   (4 + i)(2 + 3i) = 8 + 12i + 2i + 3i^2
                              = 8 + 14i - 3 = 5 + 14i
  denominator: (2 - 3i)(2 + 3i) = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13

  = (5 + 14i)/13 = 5/13 + (14/13)i

乘以共軛，使分母變為實數。