虛數單位 i

一個平方為負的數

你對任何實數平方，結果都是零或正數：3^2 = 9，而 (-3)^2 = 9 也是。所以方程式 x^2 = -1 沒有實數解——數線上根本沒有滿足它的點。幾個世紀以來故事就到此為止。後來數學家做了一個大膽的嘗試：與其放棄，不如發明一個填補空缺的新數。

用一條規則定義虛數單位 i：i^2 = -1。這就是全部的想法。由此，負數的平方根忽然有了意義：sqrt(-1) = i，sqrt(-9) = sqrt(9)·sqrt(-1) = 3i，依此類推。像 3i、-2i 或 7i 這樣的數，我們稱為虛數。

sqrt(-25) = sqrt(25 · -1)
         = sqrt(25) · sqrt(-1)
         = 5 · i
         = 5i

check:  (5i)^2 = 25 · i^2 = 25 · (-1) = -25   ✓

i 的冪循環

一旦知道 i^2 = -1，更高次的冪只要一步步相乘就能得到，而且每四個一組循環。這是關於 i 最有用的計算事實。

i^1 = i
i^2 = -1
i^3 = i^2 · i = -i
i^4 = i^2 · i^2 = (-1)(-1) = 1
i^5 = i^4 · i = 1 · i = i      ← cycle restarts

rule: i^n depends only on n mod 4
  n ≡ 0 → 1     n ≡ 1 → i
  n ≡ 2 → -1    n ≡ 3 → -i

1. 求 i^n 時，把 n 除以 4，保留餘數 r。
2. 讀出答案：r = 0 得 1，r = 1 得 i，r = 2 得 -1，r = 3 得 -i。
3. 例：i^23。由於 23 = 4·5 + 3，餘數為 3，所以 i^23 = -i。