非阿貝爾 H^1 與下降口號
當係數模是被 G 作用的非阿貝爾群時，H^1(G, A) 不再是群——只是 帶點集合（上循環仍為 f(gh) = f(g)·g(f(h))，模去 f(g) ~ a^{−1} f(g) g(a)）。非阿貝爾的代價是一次以上失去群結構，但回報巨大：H^1(Gal(K̄/K), Aut(X₀)) 分類對象 X₀ 的 K-形式——一切在代數閉包上與 X₀ 同構、卻可能在 K 上不同構者。這就是下降／扭曲原理。
TWISTING SLOGAN: { K-forms of X_0 } / iso <--> H^1( Gal(Kbar/K), Aut_Kbar(X_0) ).
Example A (vanishing). X_0 = the K-vector space K^n. Aut over Kbar is GL(n, Kbar).
H^1(Gal, GL(n, Kbar)) = * (one point): a form of GL_n is again GL_n.
This is Theorem 90 generalized (n=1 recovers H^1(G, Kbar*) = 0). Moral: vector spaces
have no twists -- a finite-dim space over K is determined by its dimension.
Example B (nontrivial). X_0 = the split quadratic form x1^2 + ... + xn^2 over K = Q.
Aut over Kbar is O(n, Kbar). H^1(Gal, O(n)) classifies n-dim QUADRATIC FORMS over Q
up to isometry that become equivalent over Qbar -- i.e. all nondegenerate ones.
Diagonal entries (the d_i in <d_1,...,d_n>) mod squares are exactly the cocycle data.
The twists are real: x^2 + y^2 and x^2 - y^2 are NOT isometric over Q (different signature),
yet both diagonalize to <1,1> over C. H^1 sees the difference; the algebraic closure does not.再看 H^2：布饒爾群
正如非阿貝爾 H^1 分類扭曲形式，H^2(Gal(K̄/K), K̄*) 分類某種二次之物——它就是 [[brauer-group|布饒爾群]] Br(K)。其元素是 K 上的 中心單代數 模去莫里塔等價；上同調類再次是因子集，如今取值於 K̄*。R 上的 哈密頓四元數 代表 Br(R) = Z/2 的非平凡元——一個不是矩陣代數的中心單 R-代數，恰因其在 H^2 中的類非零。第 3 篇 H^2 分類擴張的故事，與 H^2 即布饒爾群的故事，是同一上同調的兩套戲裝。
在域之間穿行，兩個函子性映射反覆出現。[[restriction-map|限制映射]] res : H^n(G, A) → H^n(H, A) 過渡到子群 H ≤ G（縮小對稱，如過渡到更大的域）。[[inflation-map|膨脹映射]] inf : H^n(G/N, A^N) → H^n(G, A) 從商把類拉上來。二者連同 超渡 組成膨脹–限制正合列，即林登–霍赫希爾德–塞爾 譜序列 的低次影子——由正規子群與商計算群上同調的工具。