設定與兩條基本消失定理
[[galois-cohomology|伽羅瓦上同調]] 不過是 G = Gal(L/K) 為 伽羅瓦群、模為域所承載之物時的群上同調。兩條奠基結果：對 n ≥ 1 有 H^n(G, L) = 0（加法群 L 上同調平凡——這是正規基定理的化身），以及更有用的 H^1(G, L*) = 0，即 [[hilbert-theorem-90|希爾伯特定理 90]] 的上同調形式。加法消失使乘法結果成為有趣者。
循環情形的定理 90，及其為真之由
希爾伯特的原始陳述即循環情形。設 L/K 是 循環擴張，Gal(L/K) = ⟨σ⟩ 為 n 階。把第 2 篇的循環配方用於乘法模 L*：1-上循環被範數映射所殺，而上邊緣落在 σ−1 的像中。展開來說：**若 N_{L/K}(α) = 1，則存在 β ∈ L* 使 α = β/σ(β)**。範數為 1 的元素恰是乘法上邊緣。
Cyclic Theorem 90: Gal(L/K) = <sigma>, order n, N(x) = x . sigma(x) . sigma^2(x) ... sigma^{n-1}(x).
Claim: N(alpha) = 1 ==> alpha = beta / sigma(beta).
Proof (the slick cocycle proof). Define the K-linear map on L:
theta = id + alpha*sigma + (alpha*sigma(alpha))*sigma^2 + ... + (alpha*sigma(alpha)...sigma^{n-2}(alpha))*sigma^{n-1}.
By Dedekind's independence of characters the automorphisms 1, sigma, ..., sigma^{n-1}
are linearly independent over L, so theta is NOT the zero map: pick c in L with gamma = theta(c) != 0.
A direct computation using N(alpha)=1 gives
alpha * sigma(gamma) = gamma, i.e. alpha = gamma / sigma(gamma).
Set beta = gamma. Done. (gamma/sigma(gamma) is, in cocycle language, a 1-coboundary.)
WORKED: L = Q(i), K = Q, Gal = {1, conj}, sigma = conjugation, n = 2. N(a+bi) = a^2+b^2.
alpha = (3+4i)/5 has N(alpha) = (9+16)/25 = 1. Find beta = x+iy with alpha = beta/conj(beta):
take beta = 1 + 2i : beta/conj(beta) = (1+2i)/(1-2i) = (1+2i)^2/5 = (-3+4i)/5 ... = (-3+4i)/5.
take beta = 2 + i : (2+i)/(2-i) = (2+i)^2/5 = (3+4i)/5 = alpha. <-- beta = 2+i works.這個算完的例子不止是趣聞：讓 β = x + iy 遍歷，公式 β/σ(β) 參數化單位圓上每個有理點——Q(i)/Q 上的定理 90 就是 勾股數的有理參數化。抽象的上同調陳述與你自學童時代就知道的結果是同一個定理。
定理 90 換來什麼：庫默爾理論
把定理 90 餵進 n 次冪映射的長正合列。若 K 含 n 次本原單位根，則序列 1 → μ_n → L* → L* → 1（末映射 x ↦ x^n）在上同調上、經 H^1(G, L*) = 0 抹去一項後，給出潔淨的同構 K*/(K*)^n ≅ H^1(G, μ_n) ≅ Hom(G, μ_n)。這正是 [[kummer-extension|庫默爾理論]]：K 上指數為 n 的阿貝爾擴張由 K*/(K*)^n 的子群支配。定理 90 是引擎，庫默爾理論是車。