擴張、截面，以及它的偏差
群 G 被阿貝爾群 A 的 [[group-extension|群擴張]] 是群的短正合列 1 → A → E → G → 1。E 對其正規子群 A 的共軛下降為 A 上的 G-作用（A 阿貝爾，故 A 的內自同構平凡，作用良定）。固定一個集合論 截面 s : G → E，使 s(1) = 1，為每個 g 選定一個原像。s 沒有理由保乘法；其 偏差 落在 A 中。
Since s(g)s(h) and s(gh) have the same image g h in G, they differ by an element of A:
s(g) s(h) = f(g,h) * s(gh), f(g,h) in A.
This f : G x G -> A is the FACTOR SET (the 2-cochain). Associativity in E forces a relation.
Write the action as g.a = s(g) a s(g)^{-1}. Expand (s(g)s(h))s(k) = s(g)(s(h)s(k)):
g.f(h,k) - f(gh,k) + f(g,hk) - f(g,h) = 0.
That is EXACTLY d^2 f = 0: f is a 2-COCYCLE. (using additive notation in A)
Change the section: s'(g) = c(g) * s(g) with c: G -> A. Then
f'(g,h) - f(g,h) = g.c(h) - c(gh) + c(g) = (d^1 c)(g,h),
so f changes by a 2-COBOUNDARY. ==> the class [f] in H^2(G,A) is independent of the section.分類定理
這是本軌的核心事實。誘導 A 上固定 G-作用的擴張 1 → A → E → G → 1 的等價類，與 [[second-cohomology|H^2(G, A)]] 一一對應。 零類對應 分裂 擴張——半直積 A ⋊ G，此時存在同態截面，等價地是 分裂正合列。非零類則是任何截面都解不開的真正非分裂擴張。
當作用 平凡 時，A 落入 E 的中心，稱為 [[central-extension|中心擴張]]；平凡作用的 H^2(G, A) 分類它們。經典樣本：G = Z/2 平凡作用於 A = Z/2 時 H^2 = Z/2，其兩個類把克萊因四元群 V 與循環群 Z/4 區分開——二者皆為 Z/2 被 Z/2 的擴張，恰由因子集分辨。
G = Z/2 = {1, t}, A = Z/2 = {0,1}, trivial action. Sections s(1)=e, s(t)=x.
A factor set is determined by one value f(t,t) in A (others forced by s(1)=1).
f(t,t) = 0 : x^2 = s(t)s(t) = f(t,t)*s(t^2) = 0*e = e. E = Z/2 x Z/2 = V (split).
f(t,t) = 1 : x^2 = the nontrivial element of A. E = Z/4 (non-split).
Both f are 2-cocycles (trivial G means d^2 collapses to alternating-sum = 0 here),
and the only 2-coboundary is 0 because c: G->A with c(1)=0 gives d^1 c (t,t)= c(t)-c(1)+c(t)=2c(t)=0.
So H^2(Z/2, Z/2) = Z/2 <--> { V, Z/4 }. The two extension classes, seen directly.舒爾乘子
特殊化到以 C*（或 Q/Z）為核的中心擴張。平凡作用下的群 H^2(G, C*) 即 [[schur-multiplier|舒爾乘子]] M(G)，歷史上它是把 G 的 射影表示 提升為真正線性表示的障礙——射影表示給出取值於 C* 的因子集，而它可線性化當且僅當該類在 M(G) 中為零。舒爾乘子還支配完美群的 泛中心擴張，並在代數 K-理論中作為 K_2 再次出現。