上循環與上邊緣：親手算 H^1

標準上鏈複形

條形分解使 H^n(G, A) 可由顯式上鏈複形計算。一個 n-上鏈 就是函數 f : G^n → A（其中 C^0 = A，即常值）。上邊緣 d : C^n → C^{n+1} 交替地穿插作用與各槽。真正要用的是下面兩條公式。

Cochains:   C^0 = A,   C^1 = { f: G -> A },   C^2 = { f: GxG -> A }.

d^0 : A -> C^1        (d^0 a)(g)      = g.a - a
d^1 : C^1 -> C^2      (d^1 f)(g,h)    = g.f(h) - f(gh) + f(g)
d^2 : C^2 -> C^3      (d^2 f)(g,h,k)  = g.f(h,k) - f(gh,k) + f(g,hk) - f(g,h)

Definitions in degree 1:
   Z^1 = ker d^1 = { f : f(gh) = f(g) + g.f(h) }          (1-cocycles)
   B^1 = im  d^0 = { f : f(g) = g.a - a  for some fixed a }  (1-coboundaries)
   H^1(G, A) = Z^1 / B^1.

Check d^1 . d^0 = 0:  d^1(d^0 a)(g,h) = g(h.a - a) - (gh.a - a) + (g.a - a) = 0.  OK.

上鏈複形 C^0 → C^1 → C^2 → …，及一次上循環/上邊緣群。

1-上循環即交叉同態

再讀上循環條件 f(gh) = f(g) + g·f(h)：這是 扭曲的萊布尼茨法則。滿足它的函數恰是交叉同態（亦稱導子）。當作用平凡時它退化為 f(gh) = f(g) + f(h)，即普通同態 G → A。於是 H^1 推廣了 Hom(G, A)，並為非平凡作用作出修正。

上邊緣 f(g) = g·a − a 是平凡的扭曲：函數僅來自挪動單個元素 a。故 H^1 = （交叉同態）/（主交叉同態） 度量交叉同態在該平凡性下的差異。兩個上循環之差為上邊緣時稱 上同調等價——這一等價關係是整門學科的脈搏。

一個算完的 H^1

G = Z/2Z = {1, s},   A = Z[i] (Gaussian integers) as additive group,
action:  s = complex conjugation,  s.(a + bi) = a - bi.

Cyclic recipe with n = 2:   N = 1 + s,    g - 1 = s - 1.

  N(a+bi)     = (a+bi) + (a-bi) = 2a.       ker N = { a+bi : 2a = 0 } = { bi : b in Z } = iZ.
  (s-1)(a+bi) = (a-bi) - (a+bi) = -2bi.      im(s-1) = { -2bi } = 2iZ.

H^1(Z/2Z, Z[i]) = ker N / im(s-1) = iZ / 2iZ = Z/2Z.

Sanity check by hand: the cocycle f with f(s) = i satisfies f(s^2)=f(1)=0 since
  f(1) = f(s)+ s.f(s) = i + (-i) = 0.  Good. It is NOT a coboundary: i is not of the
  form (s-1).(a+bi) = -2bi (an even multiple of i). So [f] is the nonzero class.

H^1(Z/2Z, Z[i]) = Z/2Z，用循環公式 ker N / im(g−1) 算出並直接驗證。

注意這份紀律：上循環是 G 上的函數，不是一個數；上同調裡的相等指相差一個上邊緣，絕非逐點相等。請記住——下一篇裡同樣的上邊緣記帳法將分類群擴張，而在伽羅瓦上同調中某個看似平凡的上循環，會因定理 90 而真正消失。