對象：被 G 作用的阿貝爾群
一個 G-模 是一個 阿貝爾群 A，配上群 G 透過自同構的作用：每個 g 給出自同構 a ↦ g·a，且相容地滿足 (gh)·a = g·(h·a)、1·a = a，以及 g·(a+b) = g·a + g·b。等價地——這句口號值得記住——A 就是 群代數 Z[G] 上的一個 模。群上同調不過是取不變量這一函子的導出函子。
三個貫穿全軌的例子。(1) 平凡作用：對所有 g 有 g·a = a；此時 A 只是記得 G 在場的阿貝爾群。(2) 對 G = Gal(L/K)，加法群 L 與乘法群 L* 都是 G-模——作用 就是 自同構 對域中元素的自然作用。(3) 群 E 中的正規子群 A，被商群 G = E/A 經共軛作用；當 A 阿貝爾時它是 G-模。三者都請記牢，各有回報。
H^0 即不變量，麻煩正從此處開始
定義 不變量 A^G = { a ∈ A : 對所有 g 有 g·a = a }。這已是零次上同調：H^0(G, A) = A^G。平凡作用下 A^G = A；L 在 Gal(L/K) 下 L^G = K，這正是 伽羅瓦擴張 的定義；同一群作用於 L* 時 (L*)^G = K*。目前並不神秘——H^0 只記錄對稱所固定者。
麻煩在於：函子 A ↦ A^G 僅 [[left-exact-functor|左正合]]。把它作用於 G-模的 短正合列 0 → A → B → C → 0，得到正合的 0 → A^G → B^G → C^G——但最後一映射未必滿。C 中某個 G-不變元素在 B 中可能沒有 G-不變原像。這種滿性的失敗是實在的代數內容，而高次上同調群 H^1、H^2……正是透過一條 長正合列 來度量它的機器。
G = Z/2Z = {1, s}, A = Z with the sign action s·n = -n.
Invariants: A^G = { n in Z : -n = n } = {0}.
Now the multiplication-by-2 sequence of G-modules
0 -> Z --(x2)--> Z --(mod 2)--> Z/2Z -> 0 (sign action on the two Z's; trivial on Z/2Z)
apply ( - )^G :
0 -> 0 -> 0 -> Z/2Z
The class 1 in (Z/2Z)^G = Z/2Z is invariant but has NO invariant preimage,
because B^G = 0. Surjectivity fails. That missing piece is detected by H^1(G, Z),
the first place the long exact sequence continues.