局部化、賦值環與 Krull 維數

局部化：通過求逆來放大

分式域把整環的每個非零元都求逆。局部化是受控的版本：只對選定的乘性集求逆。要研究環在素理想 P 附近的行為，就把 P *之外* 的一切求逆——即集合 S = R∖P——得到在 P 處的局部化，記作 R_P。其元素是分式 a/s，其中 s ∉ P。

奇妙之處：R_P 總是局部環——它有唯一的極大理想 PR_P。P 之外的一切都成了單位，故 P 是僅存的障礙。局部化是正合的，且與商、有限交可交換，這使它成為把全局問題逐個素理想化歸的標準工具。

R = Z, P = (5).  Then R_P = Z_(5) = { a/b : b not divisible by 5 }.
  Units: a/b with 5 not dividing a (and not b).
  Only non-unit prime: (5)Z_(5). So Z_(5) is local, max ideal (5).
  e.g. 1/3, 7/2, 100/3 are all in Z_(5); but 1/5 is NOT.

Primes of R_P  <->  primes of R contained in P:
  Spec Z_(5) = { (0), (5)Z_(5) } -- just the chain (0) c (5).
Localization 'deletes' every prime not below P and keeps the rest.
This is exactly zooming the picture in onto the point P.

在 (5) 處局部化只保留 ⊆ (5) 的素理想；結果是以 (5) 為極大理想的局部環。

離散賦值環：曲線的光滑點

把一條良好曲線在某點局部化，就得到離散賦值環 (DVR)：一個不是域的局部主理想整環。等價地，一個帶賦值 v: K^× → Z 的整環，該賦值度量函數在該點處的零點階。存在唯一的 單值化元 π 生成極大理想，且每個非零元唯一地表為一個單位乘以 π 的某次冪。

Many equivalent definitions of a DVR (R local, domain, NOT a field):
  (a) R is a PID with a unique nonzero prime ideal;
  (b) the maximal ideal m is principal, m = (pi), and  n m^n = 0;
  (c) R is integrally closed, Noetherian, with Krull dimension 1;
  (d) there is a discrete valuation v on Frac(R) with R = {x : v(x) >= 0}.

Prototype: R = k[x]_(x) = rational functions f/g with g(0) != 0.
  Uniformizer pi = x.  v(f) = order of vanishing of f at 0.
    v(x^3 * unit) = 3,  v((x^2+x)/(1+x)) = v(x(x+1)/(1+x)) = 1.
  Ideals are exactly (x^n), a single chain (1) > (x) > (x^2) > ...
A Dedekind domain is precisely a domain that is a DVR at every nonzero prime.

DVR 的五副面孔；賦值 v 記錄零點階，把理想強制排成一條鏈。

Krull 維數：數素理想鏈

一切匯成一個數。R 的 Krull 維數是素理想嚴格鏈 P_0 ⊊ P_1 ⊊ … ⊊ P_d 長度 d 的上確界。素理想 P 的高度是局部環 R_P 的維數——即 P *以下* 最長的鏈。這是維數的純代數定義，而諾特正規化使它與幾何定義吻合：dim k[x_1,…,x_n] = n。

dim Z = 1:   longest chain is  (0) c (p),  length 1.
dim k = 0:   a field has only the prime (0).  length 0.
dim k[x] = 1:   (0) c (x - a).
dim k[x,y] = 2: (0) c (x) c (x, y).  Three primes, chain length 2.
In general dim k[x_1,...,x_n] = n  (a clean Noether-normalization corollary).

Krull's principal ideal (Hauptidealsatz): in a Noetherian ring, a minimal
prime over a SINGLE nonzero element f has height <= 1.
  => cutting by one equation drops dimension by at most one.
  Geometric reading: a hypersurface V(f) in n-space has dimension >= n-1.
Iterating: V(f_1,...,f_c) has every component of dimension >= n - c.

經由素理想鏈定義的 Krull 維數；主理想定理控制一個方程如何削減維數。

壓軸是 Krull 主理想定理及其逆：在諾特局部環中，素理想的高度等於以該素理想為極小素理想的理想所需生成元的 *最少* 個數。當此最少個數等於維數時——生成元少到維數所允許的極限——該局部環是正則局部環，即光滑點的代數標誌。從有限性（希爾伯特）到幾何（零點定理）到維數（Krull）：貫穿其中的始終是同樣的素理想鏈。