整 = 代數，但係數取自基環且首一
對域擴張，「代數」意指滿足一個基域上的多項式。對環，我們要求該多項式 首一——這一個詞就是全部關鍵。給定 R ⊆ S，元素 s ∈ S 若滿足 s^n + r_{n−1}s^{n−1} + … + r_0 = 0（某些 r_i ∈ R，首項係數為 1），則稱 s 在 R 上 整。在域上首一是自動的，故這恰好還原 代數；在 Z 上它迫使 s 成為代數 *整數*，而非任意代數數。
主力引理——行列式技巧——表明：s 在 R 上整，當且僅當 R[s] 是有限生成 R-模。由此可得：所有在 R 上整的元素之集，即 整閉包，構成一個子環，且整性具有傳遞性。
Determinant trick (why integral <=> finite module):
Suppose M = R[s] is generated as an R-module by m_1,...,m_n, with s*M c M:
s * m_i = sum_j a_ij m_j , a_ij in R.
In matrix form: (s*I - A) * [m_1; ...; m_n] = 0, where A = (a_ij).
Multiply by the adjugate: det(s*I - A) * m_i = 0 for every i.
Since 1 is an R-combination of the m_i, det(s*I - A) * 1 = 0.
But det(s*I - A) = s^n + (lower) is a MONIC polynomial in s with R-coeffs.
So s satisfies a monic equation over R => s is integral. QED
Example: sqrt(2) is integral over Z: x^2 - 2 = 0 (monic). It IS an alg. integer.
(1/2) is NOT integral over Z: any monic x^n + ... + c_0 = 0 with
x = 1/2 clears to 1 + 2(...) = 0, forcing 2 | 1. Impossible.上升：素理想沿整映射抬升
若 R ⊆ S 是整擴張，則誘導映射 Spec S → Spec R 在幾何上是 有限滿 映射——一個分支覆蓋。上升定理 把滿性及更多內容說精確：R 的每個素理想都被覆蓋到，且下層的素理想鏈可以抬升為上層的素理想鏈。
- 蓋覆 (lying over)。 對 R 的每個素理想 P，都有 S 的素理想 Q 使 Q ∩ R = P。故 Spec S → Spec R 是滿射。
- 上升。 給定 R 中 P_1 ⊆ P_2，以及 S 中位於 P_1 之上的素理想 Q_1，則存在 Q_2 ⊇ Q_1 位於 P_2 之上。鏈可抬升。
- 不可比性。 位於同一 P 之上的兩個不同 S-素理想絕不互相包含。故纖維是離散的。
諾特正規化：每個簇都覆蓋仿射空間
現在是結構上的高潮。諾特正規化：若 A 是域 k 上有限生成的代數，則存在在 k 上 代數無關 的元素 y_1,…,y_d ∈ A，使 A 作為多項式子環 k[y_1,…,y_d] 上的 *模* 是有限生成的——即整的。幾何上：每個仿射簇都有一個到仿射空間 A^d 的有限滿射，而 d 即其 維數。
Toy case: A = k[x,y]/(xy - 1) (the hyperbola, dimension 1).
x and y are not independent (xy = 1). Is k[x] a normalizing subring?
No: y = 1/x is NOT integral over k[x]
(it would satisfy a monic poly over k[x], impossible as above).
Fix by a linear change: set t = x + y. Claim A is integral over k[t].
From xy = 1 and x + y = t: x, y are the two roots of
T^2 - t*T + 1 = 0 (monic over k[t]).
So x and y are each integral over k[t]. Hence A = k[t][x,y] is
a finite module over k[t]. Here d = 1: the hyperbola finitely covers A^1.
(The generic linear change of coordinates works whenever k is infinite;
over finite fields use a slightly twisted substitution.)