伴隨函子與範疇等價

伴隨雙射

兩個函子 F : C → D 與 G : D → C 稱為[[adjoint-functor|伴隨]],記 F ⊣ G(F 左伴隨,G 右伴隨),若存在對兩個變量都自然的雙射 Hom_D(F(A), B) ≅ Hom_C(A, G(B))。讀作:從「自由」物件 F(A) 出發的映射,與映入「底層」物件 G(B) 的映射,是同一份資料。第三篇的泛性質恰恰就是說某些函子有伴隨。

Free group F : Set -> Grp  is LEFT adjoint to forgetful U : Grp -> Set.

  Adjunction:   Hom_Grp( F(S), H )  ~=  Hom_Set( S, U(H) ).

Unwound: a group homomorphism out of the free group on S is
the SAME thing as a plain function from S to the elements of H.
That is the universal property of a free group -- 'specify a
homomorphism by sending the generators anywhere you like.'

Tensor-Hom adjunction (R commutative, fix module M):

  Hom_R( A (x) M , B )  ~=  Hom_R( A , Hom_R(M, B) ).

So  - (x) M  is LEFT adjoint to  Hom_R(M, -).
This is exactly the universal property of the
[[tensor-product|tensor product]]: bilinear maps A x M -> B
<-> linear maps A (x) M -> B.

Unit and counit (the structural data):
  unit    eta : id_C => G F   (e.g. S -> U F(S), x |-> x as a word)
  counit  eps : F G => id_D   (e.g. F U(H) -> H, evaluate the word)
satisfying the triangle identities
  (eps F)(F eta) = id_F,   (G eps)(eta G) = id_G.

兩個你早已隱隱知道的伴隨:自由 ⊣ 遺忘,以及張量 ⊣ Hom。

伴隨的保持性,與正合的線索

伴隨不只是記帳——它有鋒牙。左伴隨保持餘極限,右伴隨保持極限(口訣:左保餘、右保極)。僅這一條定理就解釋了,例如張量積為何對直和分配(⊗ 是左伴隨,⊕ 是餘極限),以及 Hom(M, −) 為何把積送到積。它也解釋了失敗:⊗ 是左伴隨,故未必保持作為核的那個極限——這正是 ⊗ 僅右正合、而 Tor 出來度量其缺陷的原因。

範疇等價

範疇的同構(F 與 G 滿足 FG = id、GF = id 嚴格相等)過於剛硬,無甚用處。正確的概念是[[equivalence-of-categories|等價]]:函子 F : C → D、G : D → C 配自然同構 GF ≅ id_C 與 FG ≅ id_D。等價的範疇「就一切範疇目的而言相同」,哪怕其物件是天差地別的集合。等價地說,F 是等價當且僅當它全忠實(在每個 Hom-集上雙射)且本質滿(D 的每個物件都同構於某個 F(A))。

有限維 Vect_k 等價於以 n × m 矩陣為態射 n → m 的自然數範疇。線性代數「就是」矩陣代數——這是一個等價,而非同構。
伴隨 F ⊣ G 恰當其單位與餘單位都是同構時升級為等價。故等價是伴隨的一個強而對稱的特例。