泛性質:積、餘積、極限

用映射定義積與餘積

這就是讓範疇論強大的那一招。A 與 B 的[[categorical-product|積]]是一個物件 A×B,帶投影 p : A×B → A、q : A×B → B,使得對任意帶映射 f : T → A 與 g : T → B 的物件 T,存在唯一的 h : T → A×B 滿足 p∘h = f 且 q∘h = g。我們沒說 A×B 由什麼構成——我們說了一切如何映入它。這一要求,即泛性質,把該物件釘死了。

在 Set 中,積是笛卡兒積 A × B 配顯然的投影;唯一的 h 是 t ↦ (f(t), g(t))。
在 Grp 中,積是直積 G × H 配分量運算;在 Vect 中是直和 V ⊕ W(有限情形)。
[[coproduct|餘積]]翻轉所有箭頭:從 A、B 出發的映射唯一地穿過 A ⊔ B。在 Set 中是無交並;在 Vect 中是直和;在 Grp 中是自由積;在 CRing 中是環的張量積。同一泛形狀,具體物件卻天差地別。

Product universal property as a commuting diagram:

         T
        /|\
     f / |h\ g       <-- h is the UNIQUE arrow making
      /  |  \            both triangles commute
     v   v   v
     A<--AxB-->B
        p   q

Uniqueness up to UNIQUE iso. Suppose P and P' both satisfy
the product property for (A,B). Each maps into the other by
its universal arrow:
   u : P -> P'   (from P's maps into A,B)
   v : P' -> P   (from P's maps into A,B)
Then v o u : P -> P satisfies the SAME property that id_P
does (projections unchanged). By the UNIQUENESS clause,
v o u = id_P; symmetrically u o v = id_{P'}.
=> P and P' are isomorphic, by a UNIQUE iso compatible with
the projections. The product is well-defined 'as an object
in C', construction-independent.

泛性質為何在唯一同構意義下確定其物件——論證永遠是這一套。

始、終,以及極限這把傘

兩個退化卻關鍵的情形。[[initial-object|始物件]] 0 對每個物件恰有一個箭頭 0 → A;[[terminal-object|終物件]] 1 對每個物件恰有一個箭頭 A → 1。在 Set 中,∅ 是始的,任意單點集是終的。在 Grp 中平凡群既始又終。在 CRing 中 Z 是始的,零環是終的。由上面同樣的論證,始物件與終物件在唯一同構意義下唯一。

這些都是特殊的[[alg-limit|極限]]。極限是一個圖上的泛錐:終物件是空圖的極限,積是兩個無連接物件的極限,而[[pullback|拉回]](纖維積)是 A → C ← B 的極限。對偶地,[[colimit|餘極限]]是泛餘錐:始物件、餘積與推出。商、核與正向極限都歸於此。學會讀出「這是極限/餘極限」,就把零散的構造統一成一套詞彙。