函子:範疇之間的映射
一旦範疇本身成為關注的物件,我們就想要它們之間的映射。[[functor|函子]] F : C → D 把 C 的每個物件 A 送到 D 的物件 F(A),把每個態射 f : A → B 送到態射 F(f) : F(A) → F(B),並滿足 F(id_A) = id_{F(A)} 及 F(g∘f) = F(g)∘F(f)。函子就是範疇的同態:它保持恆等與複合。
- [[forgetful-functor|遺忘函子]] U : Grp → Set、Ring → Ab、Vect → Set 只是丟掉結構,把群送到其底層集合,把同態送到底層函數。容易忽視,卻出人意料地重要。
- 自由函子 F : Set → Grp 把集合送到其上的自由群,把函數送到誘導同態。它們是遺忘函子的搭檔(下一篇:伴隨)。
- Hom-函子 Hom(A, −) : C → Set 把 B 送到集合 Hom(A, B)。它們是可表性與米田(第五篇)的種子。
- 反變函子翻轉箭頭:F(f) : F(B) → F(A)。對偶空間 V ↦ V* 是反變的——線性映射 T : V → W 誘導 T* : W* → V*。同調函子是協變的;上同調是反變的。
自然變換
若函子 F, G : C → D 是把 C 變成 D 的兩種方式,[[natural-transformation|自然變換]] η : F ⇒ G 就是把一者協調地變形為另一者的方法。它對每個物件 A 給出 D 中的分量 η_A : F(A) → G(A),使得對每個 f : A → B 方塊交換:η_B ∘ F(f) = G(f) ∘ η_A。「自然」意味著:在每個物件上用同一套配方,沒有任何無法與映射交換的任意選擇。
The naturality square (must commute for every f : A -> B):
eta_A
F(A) ----------> G(A)
| |
F(f) | | G(f)
v v
F(B) ----------> G(B)
eta_B
Example 1 -- determinant is natural.
Let F = GL_n(-) and G = (-)^x (units functor), CRing -> Grp.
det_R : GL_n(R) -> R^x for each commutative ring R.
For a ring map phi : R -> S, applying phi entrywise to a
matrix then taking det = taking det then applying phi:
det_S( phi(M) ) = phi( det_R(M) ).
The square commutes for every phi => det is NATURAL.
Example 2 -- double dual is natural; single dual basis is NOT.
eta_V : V -> V**, v |-> (f |-> f(v)), on finite-dim Vect.
For any linear T : V -> W, T** o eta_V = eta_W o T. Natural.
But V -> V* via a chosen basis depends on the basis: change
basis and the square fails. No natural iso V => V*.最後一點回答了每個線性代數學生的隱隱疑問:有限維 V 與 V* 同構,可這同構感覺「假」。範疇論把這感覺講精確——並不存在自然的同構 V ⇒ V*,因為每個候選都需選定一組基,而選擇破壞自然性。而無需選擇的雙對偶 V ⇒ V** 是自然的。含糊的「典範」一詞終於有了定義:自然。